Die elektrischen Kräfte/Zusammenstellung:§9

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§. 9. Zusammenstellung einiger bekannten allgemeinen Formeln über die Bewegung eines starren Körpers.

     Befindet sich ein starrer Körper in beliebiger Bewegung, und sind zwei rechtwinklige Axensysteme, das eine absolut fest, das andere starr verbunden mit dem Körper, so finden zwischen den Coordniaten und welche irgend ein Massenpunct des Körper in Bezug auf diese beiderlei Systeme besitzt, die Relationen statt:

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Die Bewegung eines starren Körpers.


wo die Coordinaten sind, welche der Anfangspunct des Systems besitzt im Systeme und die die Cosinus derjenigen Winkel vorstellen, unter welchen die Axen der beiderlei Systeme gegen einander geneigt sind. Offenbar sind die Coordinaten des Massenpunctes anzusehen als gewisse diesem Punct eigen­tümlich zugehörige Constanten; während und die Functionen der Zeit sind. Aus (40.a) folgt durch Umkehrung:



     Für die dem Zeitelement entsprechenden Zuwüchse ergeben sich nun aus (40.a) die Formeln:


und hieraus folgt durch Substitution der Werthe (40.b) sofort:



wo die Ausdrücke repräsentiren:



     Den Formeln (40.d) entsprechend kann die Bewegung des Körpers während der Zeit aufgefasst werden als eine Verschiebung des Punctes und als eine gleichzeitige Drehung des Körpers um eine gewisse durch gehende Axe. Jene Verschiebung ist der Grösse und Richtung nach repräsentirt durch andererseits findet, wie aus (40.d) ersichtlich, die Drehung um eine Axe statt, deren Richtungs-Cosinus in Bezug auf das System proportional sind mit während gleichzeitig die Grösse des Drehungswinkels sich ausdrückt durch — Uebrigens ist bekannt, und ebenfalls aus den Formeln (40.d) leicht zu ersehen, dass die Bewegung

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des Körpers während der Zeit wenn man will, auch aufgefasst werden kann als zusammengesetzt aus sechs Bewegungen. Von diesen sind alsdann die drei erstern repräsentirt durch die Verschiebungen des Punctes und die drei letztern durch Drehungen, deren Axen drei durch gehende, zu parallele Linien, und deren Drehungswinkel sind. Demgemäss pflegen die Grössen und kurzweg bezeichnet zu werden als die Verschiebungen und Drehungen des Körpers wäh­rend der Zeit

     Bringt man die Formeln (40.d) in Anwendung auf irgend zwei Massenpuncte und des betrachteten Körpers, so ergiebt sieh durch Subtraction dieser beiderlei Formeln sofort:



Nimmt man nun für und zwei Massenpuncte, deren gegenseitige Entfernung ist, so werden die rechtwinkligen Projectionen der Linie identisch werden mit ihren Richtungs-Cosinus. Bezeichnet man diese letztern also mit so ergiebt sich:



Die Formeln (40.f) und (40.g) beziehen sich also auf irgend eine mit dem Körper starr verbundene Linie; die einen repräsentiren diejenigen Aenderungen, welche ihre rechtwinkligen Projectionen, die andern diejenigen, welche ihre Richtungs-Cosinus während der Zeit erleiden.

     Findet die Bewegung des Körpers während der Zeit statt unter dem Einfluss irgend welcher ponderomotorischer Kräfte, und bezeichnet man dieselben, den einzelnen Massenpuncten entsprechend, mit so wird bekanntlich



die von diesen Kräften während der Zeit verrichtete Arbeit zu nennen sein. Substituirt man hier für ihre Werthe (40.d), so ergiebt sich:



wo die und folgende Bedeutungen haben:

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Die Formel (40.h) zeigt also, dass die auf einen starren Körper während der Zeit von irgend welchen ponderomotorischen Kräften ausgeübte Arbeit in einfacher Weise sich ausdrücken lässt durch die Verschie­bungen und Drehungen des Körpers einerseits, und durch die Summen und Drehungsmomente jener Kräfte andererseits.       Hat für die Zeit irgend welchen Werth; während Null sind, so geht die Formel (40.h) über in:



D. h. schreitet der Körper während der Zeit sich selber parallel fort in der Richtung der Axe, so wird die während dieser Zeit auf ihn ausgeübte Arbeit identisch sein mit der (in der Richtung jener Axe auf ihn ausgeübten) translatorischen Kraft, dieselbe noch multiplicirt mit der Grösse der Verschiebung.

     Hat andererseits für die Zeit irgend welchen Werth, während Null sind, und sind ausserdem ebenfalls Null, so nimmt die Formel (40.h) folgende Gestalt an:



D. h. dreht sich der Körper während der Zeit um die Axe, so wird die während dieser Zeit auf ihn ausgeübte Arbeit identisch sein mit dem (in Bezug auf die Axe ausgeübten) Drehungsmoment, dasselbe noch multiplicirt mit der Grösse der Drehung.

     Die x-Axe hat eine willkührlich gewählte Lage. Folglich gelten die mit Bezug auf (40.k) und (40.l) so eben ausgesprochenen Sätze allgemein für jede Richtung und für jede Axe.