| §. 10. Die Theorie des von F. Neumann eingeführten elektrodynamischen Potentials.
Gegeben mögen sein zwei biegsame Drahtringe
und
die in irgend welchen Bewegungen begriffen sind, und auch ihrer Gestalt nach im Laufe der Zeit irgend welche Aenderungen erleiden. Diese Ringe mögen durchflossen gedacht werden von elektrischen Strömen. Es repräsentire
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diejenige
lebendige Kraft, welche im Ringe
![{\displaystyle A\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6aaf5ce10d6add44b973e28fb3d95f37abf3721)
während eines gegebenen Zeitelementes
![{\displaystyle dt\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a110337d78018b655918da867ceff5d21c40629)
hervorgebracht wird durch die Einwirkung
| Die ponderomotorischen Kräfte eldy. Ursprungs für
des Ringes
oder (was dasselbe ist vergl. pag.12) diejenige ponderomotorische Arbeit, welche
auf
während dieser Zeit ausübt; ferner sei
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derjenige Theil jener lebendigen Kraft oder ponderomotorischen Arbeit, welcher seine Entstehung verdankt den Kräften elektrodynamischen Ursprungs. — Es handelt sich um die nähere Untersuchung dieser Grösse (42.).
Irgend zwei Elemente der Ringe
und
mögen bezeichnet sein mit
und
Die Coordinaten
des Elementes
sind abhängig einerseits von der Bogenlänge
(dieselbe gerechnet von einer bestimmten Marke bis zum Anfange von
und sind, weil der Ring in Bewegung sich befindet, andererseits auch noch Functionen der Zeit. Von denselben beiden Argumenten, nämlich von Bogenlänge und Zeit, wird ferner auch abhängig sein die in
vorhandene Stromstärke
Analoges gilt für die Coordinaten
und die Stromstärke
des Elementes
Es mag nun die Zeit, im Allgemeinen bezeichnet mit
specieller mit
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benannt werden, jenachdem sie Argument von
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ist; so dass also
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wo
und
irgend welche [1]Functionen sind.
Solches festgesetzt wird die gegenseitige Entfernung
zwischen
| lineare Leiter. — Neumann’s Potential und Integralgesetz.
den beiden Puncten
und
eine Function sein, deren Charakter angedeutet ist durch das Schema:
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D. h.
ist zunächst abhängig von den sechs Coordinaten
und diese ihrerseits sind abhängig, die einen von
die andern von
Bemerkt sei noch, dass die Richtungs-Cosinus
und
der Elemente
und
darstellbar sind durch
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dass folglich diese Richtungs-Cosinus, ebenso wie die Coordinaten selber, abhängig sind respective von
und von
Nach dem Ampère’schen Gesetz [vergl. (38.a, b, c)] repräsentirt
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diejenige ponderomotorische Kraft eldy. Us, welche das Element
auf das Element
ausübt. Die von dieser Kraft
während der Zeit
auf das Element
ausgeübte Arbeit wird, falls man ihre Componenten mit
bezeichnet, dargestellt sein durch
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Hiefür aber kann, weil
die Entfernung der beiden Elemente von einander vorstellt, auch geschrieben werden:
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oder kürzer:
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Somit ergiebt sich für die zu berechnende Arbeit (42.), d. i. für diejenige ponderomotorische Arbeit, welche der ganze Ring
vermöge seiner Kräfte eldy. Us, während der Zeit
auf den ganzen Ring
ausübt, folgende Formel:
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| Die ponderomotorischen Kräfte eldy. Ursprungs für
die Summation ausgedehnt über sämmtliche Elemente beider Ringe; hieraus folgt durch Substitution des Werthes (45.):
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Zufolge (43.a, b, c) sind
diejenigen vier coordinirten Variablen, von welchen die Entfernung
mithin auch die Function
in letzter Instanz abhängt. Bei mehrfacher Differentiation nach jenen vier Variablen wird daher das Resultat unabhängig sein von der Reihenfolge. Somit ist identisch:
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und hieraus folgt:
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wo
die Bedeutung hat:
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Der Uebergang von (48.) zu (49.) bewerkstelligt sich augenblicklich, falls man beachtet, dass
nur von
andererseits
nur von
abhängt.
Da wir es nun mit Stromringen, d. i. mit geschlossenen Strömen zu thun haben, so nimmt die Formel (47.) durch Substitution von (49.) folgende Gestalt an:
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Setzt man also:
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so wird schliesslich:
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Es mag nun der speciellere Fall ins Auge gefasst werden, dass die Ströme gleichförmig sind, dass nämlich die Stromstärken
wenn auch abhängig von der Zeit, so doch unabhängig von den Bogenlängen sind. Alsdann verschwindet der Ausdruck
(50.); so dass die Formeln (51.a, b) die einfachere Gestaltung annehmen:
| lineare Leiter. — Neumann’s Potential und Integralgesetz.
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Der Ausdruck
ist abhängig von den räumlichen Lagen der beiden Ringe
sowie von ihren Stromstärken
und das Differential
repräsentirt offenbar denjenigen partiellen Zuwachs, welchen der Ausdruck
während der Zeit
annehmen würde, falls man die Stromstärken
sowie die räumliche Lage von
constant erhalten, die räumliche Lage von
hingegen derjenigen Aenderung überlassen wollte, welche sie während der Zeit
in Wirklichkeit erleidet. Demgemäss wird jenes Differential zu bezeichnen sein als der partielle Zuwachs[2] von
genommen nach der räumlichen Lage von
Bestimmt sich die räumliche Lage des Ringes
durch irgend welche Parameter
und sind
die Zuwüchse dieser Parameter während der Zeit
so wird offenbar jenes Differential
sich ausdrücken lassen durch
so dass alsdann die Formel (52.b) auch so geschrieben werden kann:
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Der Ausdruck
(52.a) ist übrigens, wie bald näher erörtert werden soll, derjenige, welcher von meinem Vater eingeführt worden ist unter dem Namen des elektrodynamischen Potentiales. Demgemäss kann der in (52.a, b, c) enthaltene Satz so ausgesprochen werden:
.... Sind
und
zwei in Bewegung begriffene biegsame Ringe, jeder durchflossen von einem gleichförmigen elektrischen Strome, und ist
das elektrodynamische Potential der beiden Ringe auf einander, so wird die während der Zeit
vom Ringe
auf den Ring
ausgeübte ponderomotorische Arbeit eldy. Us, abgesehen vom Vorzeichen,
| Die ponderomotorischen Kräfte eldy. Ursprungs für
immer gleich sein dem partiellen Zuwachs von
genommen nach der räumlichen Lage von
Aus diesem Satze lässt sich durch Identificirung der beiden Ringe
und
unmittelbar ein analoger Satz gewinnen für einen einzigen Ring. Bedient man sich nämlich des früher (bei ähnlicher Gelegenheit, pag. 31, 32) exponirten Verfahrens, so gelangt man zu folgendem Resultat:
.... Ist
ein in Bewegung begriffener biegsamer Ring, durchflossen von einem gleichförmigen elektrischen Strome, und ist
das elektrodynamische Potential dieses Ringes auf sich selber, so wird die während der Zeit
vom Ringe
auf sich selber ausgeübte ponderomotorische Arbeit eldy. Us, abgesehen vom Vorzeichen, immer gleich sein dem partiellen Zuwachs von
genommen nach der räumlichen Lage von
Dieses Potential
des Ringes auf sich selber stellt sich dar durch eine Formel von derselben äusseren Gestalt wie (52.a), nur mit dem Unterschiede, dass noch der Factor
hinzutritt.
Aus (46.) und (52.b) folgt:
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und ebenso wird offenbar, was umgekehrt die Einwirkung von
auf
anbelangt, die analoge Formel sich ergeben:
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Diese beiden letzten Formeln können nun, bei Einführung der Bezeichnung:
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auch so dargestellt werden:
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Nun sind aber [vergl. (43.a,b,c)]
und
unabhängig von den Stromstärken, mithin unabhängig von den Argumenten
also lediglich abhängig von
Daher ist
und
Mit Rücksicht hierauf ergiebt sich durch Addition der beiden letzten Formeln sofort:
| lineare Leiter. — Neumann’s Potential und Integralgesetz.
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|
wo
und
diejenigen Zuwüchse bezeichnen, welche
und
während der Zeit
in Wirklichkeit erfahren. Die ponderomotorische Arbeit eldy. Us, welche die beiden Ringe während der Zeit
auf einander ausüben, ist also, abgesehen vom Vorzeichen, gleich dem Product
der beiden Stromstärken, multiplicirt mit demjenigen Zuwachs, welchen das auf die Stromeinheit bezogene Potntial
während der Zeit
erfährt.
Der allgemeine Satz (52.a, b, c, d) mag beispielsweise in Anwendung gebracht werden auf den Fall, dass der Ring
völlig starr, und nur, sich selber parallel, nach einer gegebenen Richtung
verschiebbar ist. Alsdann geht die Formel (52.c) über in
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wo
die Entfernung des Ringes oder (genauer ausgedrückt) etwa die Entfernung seines Schwerpunctes von irgend einer festen Ebene vorstellt, die senkrecht steht zur gegebenen Richtung, und wo
die Vergrösserung dieser Entfernung während der Zeit
bezeichnet. Bei einer solchen parallelen Verschiebung ist nun aber [vergl. pag. 49] die von den betrachteten Kräften verrichtete Arbeit gleich
falls man nämlich unter
die Verschiebung selber, andererseits unter
die Summe der
Componenten jener Kräfte versteht. Die vorstehende Formel kann daher auch so geschrieben werden:
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oder auch so:
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und sagt mithin aus, dass die vom Ringe
auf den starren Ring
in der gegebenen Richtung
ausgeübte ponderomotorische Kraft eldy. Us gleich gross ist mit der negativen partiellen Ableitung des Potentiales
nach
Andererseits mag jener allgemeine Satz (52.a, b, c, d) angewendet werden auf den Fall, dass der Ring
völlig starr, und nur drehbar ist um eine gegebene feste Axe. Die Formel (52.c) geht alsdann über in:
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|
wo
den Drehungswinkel, und
seinen Zuwachs während der Zeit
| Die ponderomotorischen Kräfte eldy. Ursprungs für
bezeichnet. Im Falle einer solchen Drehung ist aber [vergl. pag.49] die von den betrachteten Kräften verrichtete Arbeit gleich ihrem Drehungsmoment
multiplicirt mit
Somit geht die vorstehende Formel über in:
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d. i. in
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und sagt also aus, dass das vom Ringe
auf den starren Ring
ausgeübte Drehungsmoment eldy. Us
gleich gross ist mit der negativen partiellen Ableitung des Potentiales
nach dem Drehungswinkel
Für den weitern Gebrauch wird es zweckmässig sein, die für das elektrodynamische Potential durch die Formel (52.a) gegebene Definition in folgender Weise auszudrücken:
Das elektrodynamische Potential
zweier gleichförmiger Stromringe auf einander ist definirt durch
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oder auch durch
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wo
eine willkührliche Function von
vorstellt [3], während
die Bedeutung besitzt:
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Dabei sind unter
(genau ebenso wie früher pag. 44) die Cosinus derjenigen Winkel zu verstehen, unter welchen die Elemente
geneigt sind gegen ihre Verbindungslinie
letztere gerechnet von
nach
hin.
Das durch diese Formeln (55.a, b, c) definirte
kann nun in der That bezeichnet werden als das von meinem Vater
| eingeführte elektrodynamische Potential, in etwas erweiterter Gestalt. Denn man erkennt leicht, dass dieses
in das genannte Potential übergeht, sobald
gemacht wird [4].
Setzt man nämlich
und nimmt man gleichzeitig für die willkührlich zu wählende Function
den Werth
so wird zufolge der Formel (55.c):
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oder (was dasselbe ist, vergl. Pag. 39):
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wo
die schon angegebenen Bedeutungen haben, während
den Cosinus desjenigen Winkels bezeichnet, unter welchem
gegen einander geneigt sind. Demgemäss nehmen die Formeln (55.a, b) folgende Gestalt an:
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Diese Formeln aber sind mit denen, welche mein Vater als Definition des Potentiales
aufgestellt hat, völlig identisch, sobald man (ebenso wie früher pag. 45) die Constante
macht [5]
- ↑ Die Functionen
sind, wie man leicht erkennt, nicht ganz willkührlich zu denken. Denn zu ein und derselben Zeit sind die Coordinaten für den Anfangs- und Endpunct von
dargestellt durch
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Die Entfernung dieser beiden Puncte von einander ist aber
Somit folgt, dass jene Functionen der Bedingung entsprechen müssen:
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Ebenso verhält es sich mit
- ↑ Der totale Zuwachs
d. i. derjenige Zuwachs, welchen
während der Zeit
in Wirklichkeit erfährt, wird sich [vergl. (43.a, b, c)] darstellen lassen durch
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wo das erste Glied zu bezeichnen ist als der partielle Zuwachs von
nach der räumlichen Lage von
das zweite als der partielle Zuwachs von
nach der Stromstärke von
während die beiden letzten Glieder analoge Bedeutungen haben mit Bezug auf
- ↑ Statt
könnte offenbar auch ein Ausdruck von der Form
|
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zu
hinzugefügt werden, ohne dass dadurch der Werth von
irgend welche Aenderung erlitte. Denn die Curven
und
sind geschlossene Curven.
- ↑ Es unterliegt keinem Zweifel, dass die Function
den Werth
wirklich besitzt für den Fall beträchtlicher Entfernungen; in Frage gestellt ist ihre Beschaffenheit nur' dann, wenn die Entfernungen äusserst klein sind. (Vergl. pag. 46.)
- ↑ Vergl. die auf pag. 45 citirte Abhandlung: Ueber ein allgemeines Princip der math. Th. inducirter elektrischer Ströme; daselbst die fünf letzten Seiten.