Die elektrischen Kräfte/Zusammenstellung:§11

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§. 11. Fortsetzung. Betrachtung von Stromringen, die behaftet sind mit sogenannten Gleitstellen.
     Denkt man sich zwei Drahtstücke, die unter irgend welchem Winkel über einander gelegt sind, in beliebige Bewegungen versetzt, jedoch der Art, dass sie beständig miteinander in Berührung bleiben, so wird der Berührungspunct im Allgemeinen von Augenblick zu Augenblick seine Lage ändern sowohl längs des einen, wie längs|
Die ponderomotorischen Kräfte eldy. Ursprungs für


des andern Drahtes. Sind z. B. irgend welche auf dem einen Draht eingravirte Marken, und irgend welche auf dem andern Drahte eingravirte Marken, so wird jener Berührungspunct im ersten Augenblick etwa dargestellt sein können durch die Superposition im zweiten durch im dritten durch u. s. w. Ein solcher von Augenblick zu Augen­blick sich verändernder Berührungspunct wird bekanntlich Gleit­punkt oder Gleitstelle genannt. Die gegenseitige Berührung mag unter einem gewissen Druck stattfinden, so dass die beiden Drähte durch die Berührungs- oder Gleitstelle elektrisch leitend mit einander verbunden sind.

     Als Bahn eines elektrischen Stromes sei nun gegeben ein Ring welcher gebildet ist aus beliebig vielen, in beliebigen Bewegungen begriffenen Drahtstücken



der Art, dass je zwei aufeinander folgende Drahtstücke unter irgend welchem Winkel übereinander liegen, leitend mit einander verbunden durch ihren Berührungs- oder Gleitpunct. Für irgend einen Zeit­augenblick sei dieser Ring angedeutet durch das Schema:



Es sollen nämlich und diejenigen Puncte von und vor­stellen, welche augenblicklich mit einander in Berührung sind; ana­loge Bedeutung sollen und besitzen für und u. s. w.

     Die Coordinaten irgend eines Punctes des Ringes könnte man versucht sein, ähnlich wie früher (pag. 50), als Functionen der Bogenlänge und Zeit anzudeuten durch die Formeln:



indem man die Zeit insofern sie Argument dieser Coordinaten ist, specieller mit bezeichnet sich denkt. Doch sind diese Formeln, strenge genommen, im gegenwärtigen Falle unbrauchbar oder wenig­stens unzureichend. Denn der Ring besteht aus mehreren gegen einander sich verschiebenden Theilen, so dass man gezwungen ist, jedem einzelnen Theile seine individuellen Formeln beizulegen. Diese letztern mögen, den Theilen entsprechend, an­gedeutet werden durch die betreffenden Accente, so dass also die Co­ordinaten des Punctes wenn derselbe z. B. dem Theile oder dem Theile angehört, dargestellt sein sollen |
lineare Leiter. — Neumann’s Potential und Integralgesetz.



Es ist klar, dass die Functionen und von einander ver­schieden sind, schon deswegen, weil und verschiedene Bewegun­gen besitzen. Auch die Bogenlängen und sind von verschiedenem Charakter, insofern als von einer auf andererseits von einer auf eingravirten Marke aus gerechnet wird. Endlich ist der Sym­metrie willen auch die Zeit jenachdem sie in den einen oder an­dern Formeln vorkommt, verschieden benannt worden, mit oder

     Die auf gemessenen Bogenlängen mögen sämmtlich in einerlei Richtung gerechnet sein, und zwar in derjenigen, welche indicirt ist durch die Aufeinanderfolge

     Solches explicirt, können übrigens die für den Ring aufgestell­ten Formeln (59.A) beibehalten werden; sie werden anzusehen sein als die Collectivdarstellung derjenigen individuellen Formeln, welche den einzelnen Theilen des Rings zugehören.

     Ausser dem Ringe sei nun an irgend welcher andern Stelle des Raumes gegeben noch ein zweiter Ring der ebenfalls in Bewegung begriffen, und ebenfalls mit beliebig vielen Gleitstellen behaftet ist. Die einzelnen Theile von mögen benannt sein mit überhaupt mögen für denselben ganz analoge Bezeichnungen einge­führt sein, wie für Es seien die Coordinaten irgend eines Punctes des Ringes und die Abhängigkeit dieser Coordinaten von Bogenlänge und Zeit mag in collectiver Darstellung an­gedeutet sein durch die Formeln:



Diese Collectivdarstellungen (59.A) und (59.B) sind alsdann ent­sprechend unsern früheren Darstellungen (pag. 50); nur ist der da­malige Index der Bequemlichkeit willen, unterdrückt worden.

     Die Entfernung zwischen irgend zwei Puncten und der Ringe und ist, auf Grund der Formeln (59.A, B), eine Function von



Um die partiellen Ableitungen dieser Function nach den beiden ersten Argumenten zu bilden, mag der Punct festgehalten werden; so dass die Function sich reducirt auf:



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Nimmt man für den augenblicklichen Berührungspunct der Theile [vergl. (58.)], so wird der Werth von sich nach Be­lieben darstellen lassen



Diese Formeln mögen sich beziehen speciell auf den Augenblick so dass also ist, und andererseits unter und diejenigen speciellen Puncte von und zu verstehen sind, welche in diesem Augenblick mit einander in Berührung sind.

     Analoge Formeln ergeben sich offenbar für diejenigen speciellen Punkte und der Theile und welche mit einander in Be­rührung sind im nächstfolgenden Zeitaugenblick man erhält nämlich für die Entfernung welche dieser Berührungspunct zur Zeit von jenem festgehaltenen Puncte besitzt, die beiderlei Darstellungen:



In diesen Formeln (62.), (63.) sind alsdann unter und die auf gemessenen Bogenlängen von und andererseits unter und die auf gemessenen Bogenlängen von und zu verstehen. Zur Erläuterung diene die beistehende auf den Augenblick sich beziehende Figur [1], in welcher die auf und angebrachten

Fig. 7.

Marken, von denen aus die Bogenlängen und gezählt werden, bezeichnet worden sind mit und

     Aus den Formeln (62.), (63.) folgt sofort:


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und hieraus folgt weiter:



In gleicher Weise, wie selber, kann offenbar eine beliebig gegebene Function behandelt werden; man erhält alsdann die ana­loge Formel:



     Hier, ebenso wie in (63.), (64.), (65.), kann (vergl. die Figur) dasjenige Element von genannt werden, welches während der Zeit in den Ring neu eintritt, andererseits aber als dasjenige Ele­ment von bezeichnet werden, welches während dieser Zeit aus dem Ringe ausscheidet. Doch ist diese Bemerkung eigentlich nur dann richtig, wenn die Grössen und (wie in der Figur der Fall) positive Werthe haben.

     Strenge genommen wird zu sagen sein, dass entweder die mit multiplicirte Länge eines eintretenden, oder die multiplicirte Länge eines ausscheidenden Elementes vor­stellt, und umgekehrtes stattfindet bei Solches mag angedeutet sein durch die Formeln:



wo nämlich die Längen (d.i. die absoluten Werthe) der eintretenden und ausscheidenden Elemente bezeichnet gedacht werden sollen respective mit und


     Es sind nun zunächst gewisse Betrachtungen und Formeln zu entwickeln, welche nicht nur hier, sondern auch späterhin von Nutzen sein werden. Es seien

und irgend zwei Puncte der Ringe und
ihre gegenseitige Entfernung;
und beliebig gegebene, jedoch stetige Function von
und die Coordinaten von und dargestellt gedacht durch die Formeln (59.A) und (59.B);
und die augenblicklichen Geschwindigkeiten von und
und zwei bei und gelegene Elemente der beiden Ringe;
und die Richtungscosinus von und

es sollen untersucht werden die Werthe der beiden Integrale:

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dieselben hinerstreckt [2] gedacht über alle Elemente des Ringes

     Den eingeführten Bezeichnungen (59.A, B) zufolge, ist



Somit erhält man :





Die Geschwindigkeiten sind im Allgemeinen discontinuirlich in den Gleitstellen von z. B. verschieden für und Demgemäss ist der Ausdruck längs unstetig in jenen Gleitpuncten. Ebenso ist der Ausdruck unstetig in den Gleitpuncten von jedoch stetig längs Endlich ist der Ausdruck unstetig in den Eckpuncten von (weil in diesen die Werthe der Richtungscosinus plötzliche Sprünge darbieten), hingegen stetig längs — Hieraus folgt, dass von den beiden Producten




ersteres längs mit Ausnahme der Gleitpuncte, stetig, letzteres hingegen längs überall stetig ist. Demgemäss ergiebt sich aus (68.) mit Rücksicht auf (58.):




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     Der Werth von kann, etwas anders geordnet, auch so geschrieben werden:



oder, mehr abgekürzt, auch so:



oder auch endlich so :



denn es ist zu beachten, dass längs überall stetig ist, mithin z. B. in (58.) einerlei Werth hat. Selbstverständlich ist in diesen Formeln die Summation ausgedehnt zu denken über sämmtliche Gleitpuncte des Ringes sodass sie aus eben so vielen einzelnen Gliedern besteht, als Gleitpuncte in vorhanden sind.

     Es sei der betrachtete Zeitaugenblick, und das nächstfolgende Zeitelement. Durch Multiplication mit ergiebt sich:



wofür, mit Benutzung der früher eingeführten specielleren Be­zeichnungen auch geschrieben werden kann:



oder kürzer:



falls man nur in Gedanken festhält, dass die Summe lediglich aus Gliedern bestehen soll, welche den einzelnen Gleitpuncten von zugehören.

     Nun ist aber nach (66.)



Somit folgt:



oder (was dasselbe):


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Nach (67.) ist:


dabei sind unter den Grössen die wirklichen Längen der eintretenden Elemente, andererseits unter den Grössen die mit multiplicirten Längen der ausscheidenden Ele­mente zu verstehen. Fasst man nun diese beiderlei Grössen und zusammen unter der Collectivbezeichnung so kann die Formel (71.) einfacher so dargestellt werden:



die Summation ausgedehnt über sämmtliche des Ringes

     Substituirt man in (72.) und (70.) für ihre eigentlichen Bedeutungen (68.), so erhält man:



     Ersetzen wir nun endlich die den Ringen und entsprechen­den Bezeichnungen:



durch diejenigen, deren wir uns in der Regel bedient haben, nämlich durch die Bezeichnungen:



so nehmen die Formeln (73.) folgende Gestalt an:




und in analoger Weise werden wir offenbar, indem wir den Ringen und die umgekehrten Rollen zuertheilen, auch folgende Formeln erhalten:




     Diese Formeln (74.), (75.) sind also gültig für zwei mit beliebig vielen Gleitstellen behaftete Ringe wie be-|
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schaffen die Functionen und auch sein mögen, falls nur dieselben stetig sind. Dabei sind unter den all’ diejenigen Elemente zu verstehen, welche während der Zeit in den Ring eingetreten, oder aus demselben ausgeschieden sind, und zwar die wirklichen Län­gen der erstern, die mit multiplicirten Längen der letztern; andererseits sind die von analoger Bedeutung für den Ring .

     Auch ist es für die Gültigkeit der Formeln einerlei, ob die ein­zelnen Theile der Ringe und von völlig starrer Beschaffenheit, oder im Laufe der Zeit irgend welchen Formveränderungen ausgesetzt sind; wie solches aus der Deduction der Formeln sofort erhellt.




     Solches vorausgeschickt, gehen wir über zu unserem eigentlichen Gegenstande.

     Sind und zwei in Bewegung begriffene biegsame Ringe, jeder durchflossen von einem gleichförmigen elektri­schen Strome, und ist das elektrodynamische Potential der beiden Ringe aufeinander, so wird die während der Zeit vom Ringe auf den Ring ausgeübte ponderomotorische Arbeit eldy. Us, abgesehen vom Vorzeichen, immer gleich sein dem partiellen Zuwachs von genommen nach der räumlichen Lage von

     So lautete der in (52.d) gefundene Satz. Auch ging aus der damaligen Deduction deutlich hervor, dass der Satz für ungleich­förmige Ströme nicht mehr gültig ist. Hingegen lässt sich — und dies ist das Ziel der gegenwärtigen Untersuchung — darthun, dass derselbe, den Fall der Gleichförmigkeit vorausgesetzt, gültig bleibt, wenn die Stromringe mit Gleitstellen behaftet sind.

     Sind solche Gleitstellen vorhanden, so wird zunächst die vom Ringe auf den Ring während der Zeit ausgeübte ponderomotorisehe Arbeit eldy. Us, genau ebenso wie früher, in (47.), darstellbar sein durch:



wo in Folge der vorausgesetzten Gleichförmigkeit vor die Summenzeichen gesetzt sind; nun ist identisch:



somit folgt:


Neumann, die elektrischen Kräfte.
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Um die Summation rechter Hand weiter behandeln zu können, ist zu bemerken, dass aus (74.p), (75.q) die Formeln sich ergeben:



Somit folgt aus (78.):



Von den Summationen im ersten Gliede rechter Hand erstreckt sich hier die eine über all’ diejenigen Elemente welche im Zeit­augenblick dem Ringe angehören, die andere hingegen über die­jenigen einzelnen Elemente welche während der Zeit in den Ring eintreten, oder aus demselben ausscheiden; und zwar ist unter bei jedem eintretenden Element die wirkliche Länge, bei jedem ausscheidenden hingegen die mit multiplicirte Länge zu verstehen.

     Andererseits ist nun derjenige Zuwachs zu untersuchen, welchen das elektrodynamische Potential der beiden Ringe aufeinander (55. a, b, c):



während der Zeit erfahren würde, falls man die Stromstärken und die räumliche Lage von constant erhalten, die räum­liche Lage von hingegen denjenigen Aenderungen überlassen wollte, welche sie während jener Zeit in Wirklichkeit erleidet. Bezeichnet man die während der Zeit in den Ring eintretenden und aus demselben ausscheidenden Elemente, ihren wirklichen Längen nach, für den Augenblick respective mit und so findet man für den genannten Zuwachs sofort den Werth:



Führt man also für und wiederum die Collectivbezeichnung ein, so ergiebt sich:

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Aus (79.) und (82.) folgt nun aber sofort:



     Somit ist dargethan, dass der vorhin genannte Satz, und also auch sämmtliche Sätze (52.a, b, c, d, e, f, g), in ihrer Gültigkeit keinerlei Beeinträchtigung erleiden, wenn die Ringe und mit irgend welchen Gleitstellen behaftet sind, immer vorausgesetzt, dass die in den Ringen vor­handenen Ströme als gleichförmig angesehen werden dürfen. Es werden also z. B. die Formeln (52.f, g)




gültig sein, einerlei ob die betrachteten Ringe ohne Gleit­stellen, oder mit solchen behaftet sind.

     Alle Eigenschaften der Kräfte eldy. Us (mögen sie bekannt oder unbekannt sein) werden sich eintheilen lassen in Elementar- und Integral-Eigenschaften, jenachdem sie Bezug haben auf einzelne Stromelemente, oder auf Complexe solcher Elemente (z. B. auf ge­schlossene Ströme). Demgemäss ist das Ampère’sche Gesetz ein Elementargesetz genannt worden; und derselben Terminologie ent­sprechend, ist andererseits das in (52.a, b) enthaltene Resultat ein In­tegralgesetz zu nennen.

     Genauer ausgedrückt wird übrigens jenes durch (52.a, b) ausge­sprochene Integralgesetz zu bezeichnen sein als das F. Neumann’sche Integralgesetz, in etwas erweiterter Gestalt. Denn in der That ist dasselbe nichts Anderes als eine leicht sich ergebende Verallgemeine­rung derjenigen Sätze, welche von meinem Vater aufgestellt worden sind speciell mit Bezug auf fortschreitende oder drehende Be­wegungen. Diese specielleren Satze sind bereits erwähnt, nämlich dargestellt durch, die in (53.) und (54.) angegebenen Formeln. Im folgenden §. soll in Kürze diejenige Methode[3] dargelegt werden, deren mein Vater zur Ableitung dieser specielleren Sätze sich bedient hat.


  1. Für das Verständniss dieser Figur (namentlich der beigesetzten Buchstaben) dürfte ein Rückblick zu empfehlen sein auf das Schema (58.), dem entsprechend die Figur entworfen ist.
  2. Jedes Glied der Summen oder Integrale entspricht einer gewissen Linie oder (was dasselbe ist) einem gewissen Punctpaar und die Inte­gration wird also der Art auszuführen sein, dass fest liegen bleibt an irgend einer Stelle des Ringes während längs des Ringes einmal herumläuft.
  3. Vergl. die auf pag. 45 citirte Abhandlung: Ueber ein allgemeines Princip der mathematischen Theorie inducirter elektrischer Ströme; daselbst die fünf letzten Seiten.