Die elektrischen Kräfte/Zusammenstellung:§12

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§. 12. Andere Methode zur Entwicklung der Theorie des elektro­dynamischen Potentiales.

     Es seien gegeben irgend zwei geschlossene Curven; irgend ein Die ponderomotorischen Kräfte eldy. Ursprungs für

Punct der einen habe die Coordinaten $x_{0},y_{0},z_{0}\,$ und die Bogenlänge $s_{0};\,$ ebenso irgend ein Punct der andern die Coordinaten $x_{1},y_{1},z_{1}\,$ und die Bogenlänge $s_{1};\,$ endlich sei

$(1.)\,$

$R=r^{2}=(x_{0}-x_{1})^{2}+(y_{0}-y_{1})^{2}+(z_{0}-z_{1})^{2}.\,$

Alsdann folgt durch Differentiation nach $s_{0}\,$ und $s_{1}:\,$

$(2.)\,$

${\begin{aligned}{\frac {\partial R}{\partial s_{0}}}=2\left[(x_{0}-x_{1}){\frac {\partial x_{0}}{\partial s_{0}}}+\cdots \right]&=2{\sqrt {R}}\cdot \cos \vartheta _{0}=2{\sqrt {R}}\cdot \Theta _{0},\\{\frac {\partial R}{\partial s_{1}}}=-2\left[(x_{0}-x_{1}){\frac {\partial x_{1}}{\partial s_{1}}}+\cdots \right]&=-2{\sqrt {R}}\cdot \cos \vartheta _{1}=-2{\sqrt {R}}\cdot \Theta _{1},\\{\frac {\partial ^{2}R}{\partial s_{0}\ \partial s_{1}}}=-2\left[{\frac {\partial x_{0}}{\partial s_{0}}}{\frac {\partial x_{1}}{\partial s_{1}}}+\cdots \right]&=-2\cos \varepsilon =-2\mathrm {E} ,\end{aligned}}\,$

wo $\Theta _{0}=\cos \vartheta _{0},\Theta _{1}=\cos \vartheta _{1},\mathrm {E} =\cos \varepsilon \,$ die bekannten Bedeutungen (pag. 44) besitzen.

     Bezeichnet nun $U=U(R)\,$ eine willkührlich gegebene, lediglich von $R\,$ abhängende Function, so wird:

$(3.)\,$

${\frac {\partial U}{\partial s_{0}}}={\frac {dU}{dR}}{\frac {\partial R}{\partial s_{0}}},\,$

$(4.)\,$

${\frac {\partial ^{2}U}{\partial s_{0}\ \partial s_{1}}}={\frac {dU}{dR}}{\frac {\partial ^{2}R}{\partial s_{0}\ \partial s_{1}}}+{\frac {d^{2}U}{dR^{2}}}{\frac {\partial R}{\partial s_{0}}}{\frac {\partial R}{\partial s_{1}}},\,$

also mit Rücksicht auf (2.)

$(5.)\,$

${\frac {\partial ^{2}U}{\partial s_{0}\ \partial s_{1}}}=-2\left[{\frac {dU}{dR}}\cdot \mathrm {E} +{\frac {d^{2}U}{dR^{2}}}\cdot 2R\ \Theta _{0}\Theta _{1}\right],\,$

oder, wenn man ${\frac {dU}{dR}}=V\,$ setzt:

$(6.)\,$

${\frac {\partial ^{2}U}{\partial s_{0}\ \partial s_{1}}}=-2\left[V\cdot \mathrm {E} +{\frac {dV}{dR}}\cdot 2R\ \Theta _{0}\Theta _{1}\right].\,$

Zufolge (1.) ist aber $R{\frac {dV}{dR}}=r^{2}{\frac {dV}{2rdr}}={\frac {r}{2}}{\frac {dV}{dr}}.\,$ Somit ergiebt sich:

$(7.)\,$

${\frac {\partial ^{2}U}{\partial s_{0}\ \partial s_{1}}}=-2\left[V\mathrm {E} +{\frac {dV}{dr}}\ r\ \Theta _{0}\Theta _{1}\right].\,$

     Multiplicirt man diese Gleichung mit den Bogenelementen $\mathrm {D} s_{0},\mathrm {D} s_{1},\,$ und integrirt sodann über sämmtliche Elemente beider Curven, so entsteht die Formel:

$(8.)\,$

$0={\mathit {\Sigma \Sigma }}\ \mathrm {D} s_{0}\mathrm {D} s_{1}\left[V\mathrm {E} +{\frac {dV}{dr}}\ r\ \Theta _{0}\Theta _{1}\right],\,$

in welcher offenbar $V,\,$ ebenso wie $U,\,$ eine willkührliche Function von $R\,$ oder (was dasselbe) von $r\,$ ist. Diese Formel (8.) führt sofort zu folgendem Satz:

lineare Leiter. — Neumann’s Potential und Integralgesetz.

     Sind $E(r)\,$ und $F(r)\,$ beliebige Functionen von $r,\,$ jedoch mit einander verbunden durch die Relation:

$(9.)\,$

$r{\frac {dE(r)}{dr}}+F(r)=0,\,$

so wird jederzeit die Gleichung stattfinden:

$(10.)\,$

${\mathit {\Sigma \Sigma }}\ \mathrm {D} s_{0}\mathrm {D} s_{1}[E(r)\cdot \mathrm {E} -F(r)\cdot \Theta _{0}\Theta _{1}]=0\,$

die Integration ausgedehnt über zwei geschlossene Curven von beliebiger Gestalt und Lage.

     Beiläufig sei bemerkt, dass (zufolge dieses Satzes) z. B. die Glei­chung stattfindet:

$(11.)\,$

${\mathit {\Sigma \Sigma }}\ {\frac {\mathrm {D} s_{0}\mathrm {D} s_{1}\mathrm {E} }{r}}-{\mathit {\Sigma \Sigma }}\ {\frac {\mathrm {D} s_{0}\mathrm {D} s_{1}\Theta _{0}\Theta _{1}}{r}}=0;\,$

denn für $E(r)={\frac {1}{r}},\,$ wird [zufolge (9.)]: $F(r)\,$ ebenfalls $={\frac {1}{r}}.\,$

---

     Solches vorausgeschickt, gehen wir über zum eigentlichen Gegen­stande. Die eben betrachteten Curven mögen zwei gleichförmige Stromringe ohne Gleitstellen repräsentiren, $A\,$ und $B.\,$ Es seien:

$J_{0}\mathrm {D} s_{0}\,$ und $J_{1}\mathrm {D} s_{1}\,$ zwei Elemente der Ringe $A\,$ und $B;\,$

$x_{0},y_{0},z_{0}\,$ und $x_{1},y_{1},z_{1}\,$ die Coordinaten derselben;

$r={\sqrt {(x_{0}-x_{1})^{2}+(y_{0}-y_{1})^{2}+(z_{0}-z_{1})^{2}}};\,$

$\mathrm {A} _{0},\mathrm {B} _{0},\Gamma _{0}\,$ und $\mathrm {A} _{1},\mathrm {B} _{1},\Gamma _{1}\,$ die Richtungscosinus von $\mathrm {D} s_{0}\,$ und $\mathrm {D} s_{1};\,$

$\mathrm {E} =\mathrm {A} _{0}\mathrm {A} _{1}+\mathrm {B} _{0}\mathrm {B} _{1}+\Gamma _{0}\Gamma _{1};\,$

$\Theta _{0}=\mathrm {A} \mathrm {A} _{0}+\mathrm {B} \mathrm {B} _{0}+\Gamma \Gamma _{0},\,$

$\Theta _{1}=\mathrm {A} \mathrm {A} _{1}+\mathrm {B} \mathrm {B} _{1}+\Gamma \Gamma _{1},\,$ wo $\mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\Gamma \,$ die Richtungscosinus der Linie $r\,$ vorstellen sollen, gerechnet von $\mathrm {D} s_{1}\,$ nach $\mathrm {D} s_{0};\,$

$R\,$ die ponderomotorische Kraft eldy. Us, mit welcher $J_{1}\mathrm {D} s_{1}\,$ einwirkt auf $J_{0}\mathrm {D} s_{0};\,$

${X_{0}}^{A},{Y_{0}}^{A},{Z_{0}}^{A}\,$ die Componenten dieser Kraft $R;\,$

${X_{0}}^{B},{Y_{0}}^{B},{Z_{0}}^{B}\,$ die Componenten derjenigen ponderomotorischen. Kraft eldy. Us, welche auf das einzelne Element $J_{0}\mathrm {D} s_{0}\,$ aus­geübt wird vom ganzen Ringe $B;\,$

$P\,$ das elektrodynamische Potential der beiden Ringe $A\,$ und $B\,$ auf einander.

     Es sei sogleich bemerkt, dass dieses Potential $P\,$ (vergl. pag. 56) den Werth hat:

$(12.a)\,$

$P=-A^{2}\ J_{0}J_{1}\cdot {\mathit {\Sigma \Sigma }}\ \mathrm {D} s_{0}\mathrm {D} s_{1}\left[4\left({\frac {d\psi }{dr}}\right)^{2}\cdot \Theta _{0}\Theta _{1}\right],\,$

Die ponderomotorischen Kräfte eldy. Ursprungs für

und daher, zufolge des Satzes (9.), (10.), auch ausgedrückt werden kann durch

$(12.b)\,$

$P=-A^{2}J_{0}J_{1}\cdot {\mathit {\Sigma \Sigma }}\ \mathrm {D} s_{0}\mathrm {D} s_{1}\ [\varphi \cdot \mathrm {E} ],\,$

vorausgesetzt, dass man unter $\varphi \,$ eine Function von $r\,$ versteht, welche mit $\psi \,$ verbunden ist durch die Relation:

$(13.)\,$

$r{\frac {d\varphi }{dr}}+4\left({\frac {d\psi }{dr}}\right)^{2}=0.\,$

     Dieser Relation entsprechend, und in Uebereinstimmung mit einer früheren Festsetztung (pag. 46), sollen im Folgenden

$\psi =\psi (r)\quad {\text{und}}\quad \varphi =\varphi (r)\,$

als Functionen aufgefasst werden, welche für beträchtliche $r\,$ iden­tisch respective mit ${\sqrt {r}}\,$ und ${\tfrac {1}{r}},\,$ für sehr kleine $r\,$ hingegen von noch unbekannter Beschaffenheit sind.

     Die Kraft $R\,$ hat nach dem Ampère’schen Gesetz (pag. 44) den Werth:

$(14.)\,$

$R=A^{2}J_{0}J_{1}\ \mathrm {D} s_{0}\mathrm {D} s_{1}\cdot 8{\frac {d\psi }{dr}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial s_{0}\ \partial s_{1}}};\,$

ihre $x-\,$Componente wird daher:

$(15.)\,$

${X_{0}}^{A}=A^{2}J_{0}J_{1}\ \mathrm {D} s_{0}\mathrm {D} s_{1}\ \cdot 8{\frac {d\psi }{dr}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial s_{0}\ \partial s_{1}}}{\frac {x_{0}-x_{1}}{r}}.\,$

Hieraus ergiebt sich durch Summation über sämmtliche Elemente $\mathrm {D} s_{1}\,$ sofort:

$(16.)\,$

${X_{0}}^{B}=A^{2}J_{0}J_{1}\ \mathrm {D} s_{0}\cdot {\mathit {\Sigma }}\ \mathrm {D} s_{1}\left\lbrace 8\left({\frac {d\psi }{dr}}{\frac {x_{0}-x_{1}}{r}}\right){\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial s_{0}\ \partial s_{1}}}\right\rbrace ,\,$

d.i.

$(17.)\,$

${X_{0}}^{B}=A^{2}J_{0}J_{1}\ \mathrm {D} s_{0}\cdot {\mathit {\Sigma }}\ \mathrm {D} s_{1}\left\lbrace 8u{\frac {\partial v}{\partial s_{1}}}\right\rbrace ,\,$

wo für den Augenblick ${\frac {d\psi }{dr}}{\frac {x_{0}-x_{1}}{r}}=u,\,$ und ${\frac {\partial \psi }{\partial s_{0}}}={\frac {d\psi }{dr}}{\frac {\partial r}{\partial s_{0}}}=v\,$ gesetzt worden ist.

     Nun gilt allgemein für beliebige Functionen $u,v\,$ die Gleichung:

$8u{\frac {\partial v}{\partial s_{1}}}=4{\frac {\partial (uv)}{\partial s_{1}}}+4u^{2}{\frac {\partial }{\partial s_{1}}}\left({\frac {v}{u}}\right).\,$

Hieraus folgt, wenn für $u,v\,$ die genannten Bedeutungen substituirt werden:

$8u{\frac {\partial v}{\partial s_{1}}}=4{\frac {\partial (uv)}{\partial s_{1}}}+4\left({\frac {d\psi }{dr}}{\frac {x_{0}-x_{1}}{r}}\right)^{2}{\frac {\partial }{\partial s_{1}}}\left({\frac {r}{x_{0}-x_{1}}}{\frac {\partial r}{\partial s_{0}}}\right).\,$

Somit ergiebt sich aus (17.)

lineare Leiter. — Neumann’s Potential und Integralgesetz.

$(18.)\,$

${X_{0}}^{B}=A^{2}J_{0}J_{1}\ \mathrm {D} s_{0}\cdot {\mathit {\Sigma }}\ \mathrm {D} s_{1}\left\lbrace 4\left({\frac {d\psi }{dr}}{\frac {x_{0}-x_{1}}{r}}\right)^{2}{\frac {\partial }{\partial s_{1}}}\left({\frac {r}{x_{0}-x_{1}}}{\frac {\partial r}{\partial s_{0}}}\right)\right\rbrace ,\,$

oder wenn man an Stelle der Function $\psi \,$ die mit dieser durch die Relation (13.) verbundene Function $\varphi \,$ einführt:

$(19.)\,$

${X_{0}}^{B}=A^{2}J_{0}J_{1}\ \mathrm {D} s_{0}\cdot {\mathit {\Sigma }}\ \mathrm {D} s_{1}\left\lbrace -{\frac {d\varphi }{dr}}{\frac {(x_{0}-x_{1})^{2}}{r}}{\frac {\partial }{\partial s_{1}}}\left({\frac {r}{x_{0}-x_{1}}}{\frac {\partial r}{\partial s_{0}}}\right)\right\rbrace .\,$

Beachtet man nun, dass die Richtungscosinus von $\mathrm {D} s_{0}\,$ und $\mathrm {D} s_{1}\,$ mit $\mathrm {A} _{0},\mathrm {B} _{0},\Gamma _{0}\,$ und $\mathrm {A} _{1},\mathrm {B} _{1},\Gamma _{1}\,$ bezeichnet worden sind; so erhält man successive:

${\begin{aligned}r{\frac {\partial r}{\partial s_{0}}}&=[(x_{0}-x_{1})\mathrm {A} _{0}+(y_{0}-y_{1})\mathrm {B} _{0}+(z_{0}-z_{1})\Gamma _{0}],\\{\frac {r}{x_{0}-x_{1}}}{\frac {\partial r}{\partial s_{0}}}&={\frac {[(x_{0}-x_{1})\mathrm {A} _{0}+\cdots ]}{x_{0}-x_{1}}},\\{\frac {\partial }{\partial s_{1}}}\left({\frac {r}{x_{0}-x_{1}}}{\frac {\partial r}{\partial s_{0}}}\right)&=-{\frac {[\mathrm {A} _{0}\mathrm {A} _{1}+\cdots ]}{x_{0}-x_{1}}}+{\frac {[(x_{0}-x_{1})\mathrm {A} _{0}+\cdots ]\mathrm {A} _{1}}{(x_{0}-x_{1})^{2}}},\\{\frac {(x_{0}-x_{1})^{2}}{r}}{\frac {\partial }{\partial s_{1}}}\left({\frac {r}{x_{0}-x_{1}}}{\frac {\partial r}{\partial s_{0}}}\right)&=-{\frac {(x_{0}-x_{1})[\mathrm {A} _{0}\mathrm {A} _{1}+\cdots ]}{r}}+{\frac {[(x_{0}-x_{1})\mathrm {A} _{0}+\cdots ]\mathrm {A} _{1}}{r}},\\&=-{\frac {\partial r}{\partial x_{0}}}[\mathrm {A} _{0}\mathrm {A} _{1}+\cdot \cdot ]+\left[{\frac {\partial r}{\partial x_{0}}}\mathrm {A} _{0}+\cdots \right]\mathrm {A} _{1},\\&=-{\frac {\partial r}{\partial x_{0}}}\mathrm {E} +{\frac {\partial r}{\partial s_{0}}}\mathrm {A} _{1}.\end{aligned}}$

Somit folgt aus (19.):

$(20.)\,$

${X_{0}}^{B}=A^{2}J_{0}J_{1}\ \mathrm {D} s_{0}\cdot {\mathit {\Sigma }}\ \mathrm {D} s_{1}\left\lbrace {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{0}}}\mathrm {E} -{\frac {\partial \varphi }{\partial s_{0}}}\mathrm {A} _{1}\right\rbrace .\,$

Analoge Formeln werden offenbar auch für ${Y_{0}}^{B}\,$ und ${Z_{0}}^{B}\,$ gelten, so dass man also schreiben kann:

$(21.)\,$

${X_{0}}^{B}=A^{2}J_{0}J_{1}\ \mathrm {D} s_{0}\cdot {\mathit {\Sigma }}\ \mathrm {D} s_{1}\left\lbrace {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{0}}}\mathrm {E} -{\frac {\partial \varphi }{\partial s_{0}}}\mathrm {A} _{1}\right\rbrace ,\,$

$(22.)\,$

${Y_{0}}^{B}=A^{2}J_{0}J_{1}\ \mathrm {D} s_{0}\cdot {\mathit {\Sigma }}\ \mathrm {D} s_{1}\left\lbrace {\frac {\partial \varphi }{\partial y_{0}}}\mathrm {E} -{\frac {\partial \varphi }{\partial s_{0}}}\mathrm {B} _{1}\right\rbrace ,\,$

$(23.)\,$

${Z_{0}}^{B}=A^{2}J_{0}J_{1}\ \mathrm {D} s_{0}\cdot {\mathit {\Sigma }}\ \mathrm {D} s_{1}\left\lbrace {\frac {\partial \varphi }{\partial z_{0}}}\mathrm {E} -{\frac {\partial \varphi }{\partial s_{0}}}\Gamma _{1}\right\rbrace .\,$

Aus den beiden letzten Formeln ^[1] folgt sofort:

$(24.)\,$

$y_{0}{Z_{0}}^{B}-z_{0}{Y_{0}}^{B}=A^{2}J_{0}J_{1}\ \mathrm {D} s_{0}\cdot {\mathit {\Sigma }}\ \mathrm {D} s_{1}\left\lbrace \left(y_{0}{\frac {\partial \varphi }{\partial z_{0}}}-z_{0}{\frac {\partial \varphi }{\partial y_{0}}}\right)\mathrm {E} -\xi {\frac {\partial \varphi }{\partial s_{0}}}\right\rbrace ,\,$

Die ponderomotorischen Kräfte eldy. Ursprungs für

wo zur Abkürzung $y_{0}\Gamma _{1}-z_{0}\mathrm {B} _{1}=\xi \,$ gesetzt ist. Nun wird offenbar:

$\xi {\frac {\partial \varphi }{\partial s_{0}}}={\frac {\partial (\varphi \xi )}{\partial s_{0}}}-\varphi {\frac {\partial \xi }{\partial s_{0}}},\,$

also mit Rücksicht auf die Bedeutung von $\xi :\,$

$\xi {\frac {\partial \varphi }{\partial s_{0}}}={\frac {\partial (\varphi \xi )}{\partial s_{0}}}-\varphi \ (\mathrm {B} _{0}\Gamma _{1}-\mathrm {B} _{1}\Gamma _{0}).\,$

Folglich kann die Formel (24.) auch so geschrieben werden:

$(25.)\,$

$y_{0}{Z_{0}}^{B}-z_{0}{Y_{0}}^{B}=A^{2}J_{0}J_{1}\ \mathrm {D} s_{0}\ \cdot {\mathit {\Sigma }}\ \mathrm {D} s_{1}\left\lbrace \left(y_{0}{\frac {\partial \varphi }{\partial z_{0}}}-z_{0}{\frac {\partial \varphi }{\partial y_{0}}}\right)\mathrm {E} -{\frac {\partial (\varphi \xi )}{\partial s_{0}}}+\varphi (\mathrm {B} _{0}\Gamma _{1}-\mathrm {B} _{1}\Gamma _{0})\right\rbrace \,$

     Summirt man nun die Formel (21.) über sämmtliche Elemente $\mathrm {D} s_{0}\,$ des Ringes $A,\,$ so erhält man:

$(26.)\,$

${\mathit {\Sigma }}{X_{0}}^{B}=A^{2}J_{0}J_{1}\cdot {\mathit {\Sigma \Sigma }}\ \mathrm {D} s_{0}\mathrm {D} s_{1}\left\lbrace {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{0}}}\mathrm {E} \right\rbrace ;\,$

und in analoger Weise erhält man aus (25.):

$(27.)\,$

${\mathit {\Sigma }}(y_{0}{Z_{0}}^{B}-z_{0}{Y_{0}}^{B})=A^{2}J_{0}J_{1}\cdot {\mathit {\Sigma \Sigma }}\ \mathrm {D} s_{0}\mathrm {D} s_{1}\left\lbrace \left(y_{0}{\frac {\partial \varphi }{\partial z_{0}}}-z_{0}{\frac {\partial \varphi }{\partial y_{0}}}\right)\mathrm {E} +\varphi (\mathrm {B} _{0}\Gamma _{1}-\mathrm {B} _{1}\Gamma _{0})\right\rbrace \,$

Die Formeln (26.) und (27.) repräsentiren offenbar diejenige trans­latorische Wirkung und dasjenige Drehungsmoment, welche $B\,$ auf $A\,$ ausübt respective in der Richtung der $x\,$Achse und in Bezug auf diese Achse^[2].

     Beiläufig bemerkt geht aus diesen Formeln (26.), (27.) deutlich hervor, dass die Ausdrücke

$(28.)\,$

${\begin{aligned}A^{2}J_{0}J_{1}\ \mathrm {D} s_{0}\mathrm {D} s_{1}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{0}}}\mathrm {E} ,\\A^{2}J_{0}J_{1}\ \mathrm {D} s_{0}\mathrm {D} s_{1}{\frac {\partial \varphi }{\partial y_{0}}}\mathrm {E} ,\\A^{2}J_{0}J_{1}\ \mathrm {D} s_{0}\mathrm {D} s_{1}{\frac {\partial \varphi }{\partial z_{0}}}\mathrm {E} ,\end{aligned}}\,$

als die scheinbaren Kräfte zwischen den Elementen ge­schlossener Ströme bezeichnet werden können mit Bezug auf fortschreitende, nicht aber mit Bezug auf drehende Be­wegungen ^[3].

lineare Leiter. — Neumann’s Potential und Integralgesetz.

     Das elektrodynamische Potential $P\,$ der beiden Ringe $A\,$ und $B\,$ aufeinander hat nach (12.b) den Werth:

$(29.)\,$

$P=-A^{2}J_{0}J_{1}\cdot {\mathit {\Sigma \Sigma }}\ \mathrm {D} s_{0}\mathrm {D} s_{1}\ [\varphi \cdot \mathrm {E} ].\,$

Denken wir uns den Ring $A\,$ sich selber parallel in der Richtung der $x\,$Achse unendlich wenig verschoben, so resultirt für das Potential $P\,$ ein Zuwachs

$(30.)\,$

$\delta P=-A^{2}J_{0}J_{1}\cdot {\mathit {\Sigma \Sigma }}\ \mathrm {D} s_{0}\mathrm {D} s_{1}\left\lbrace {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{0}}}\delta x_{0}\cdot \mathrm {E} \right\rbrace ,\,$

wo $\delta x_{0}\,$ die Verschiebung des Punktes $x_{0},y_{0},z_{0}\,$ vorstellt. Bezeichnet man den gemeinschaftlichen Werth, welchen die Verschiebung $\delta x_{0}\,$ für sämmtliche Puncte des Ringes $A\,$ besitzt, mit $\delta \varrho \,$ so folgt:

$(31.)\,$

${\frac {\delta P}{\delta \varrho }}=-A^{2}J_{0}J_{1}\cdot {\mathit {\Sigma \Sigma }}\ \mathrm {D} s_{0}\mathrm {D} s_{1}\left\lbrace {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{0}}}\cdot \mathrm {E} \right\rbrace ,\,$

also mit Rücksicht auf (26.):

$(32.)\,$

${\mathit {\Sigma }}{X_{0}}^{B}=-{\frac {\delta P}{\delta \varrho }}.\,$

D.h. die von $B\,$ auf $A\,$ in der Richtung der $x\,$Achse aus­geübte translatorische Wirkung ist, abgesehen vom Vor­zeichen, gleich dem Differentialquotienten des Potentiales $P\,$ nach einer Verschiebung von $A\,$ in jener Richtung. Das ist derselbe Satz, der schon früher (pag. 55) auf anderem Wege ge­funden war.

     Denken wir uns andererseits dem Ringe $A\,$ eine unendlich kleine Drehung um die $x\,$Axe zuertheilt, so wird das Potential $P\,$ (29.) einen Zuwachs erhalten:

$(33.)\,$

$\delta P=-A^{2}J_{0}J_{1}\cdot {\mathit {\Sigma \Sigma }}\ \mathrm {D} s_{0}\mathrm {D} s_{1}[\mathrm {E} \delta \varphi +\varphi \delta \mathrm {E} ].\,$

wo $\delta \varrho ,\delta \mathrm {E} \,$ die Bedeutungen haben:

${\begin{aligned}\delta \varphi &={\frac {\partial \varphi }{\partial x_{0}}}\delta x_{0}+{\frac {\partial \varphi }{\partial y_{0}}}\delta y_{0}+{\frac {\partial \varphi }{\partial z_{0}}}\delta z_{0},\\\delta \mathrm {E} &=\mathrm {A} _{1}\delta \mathrm {A} _{0}+\mathrm {B} _{1}\delta \mathrm {B} _{0}+\Gamma _{1}\delta \Gamma _{0}.\end{aligned}}\,$

Für die Veränderungen $\delta x_{0},\delta y_{0},\delta z_{0}\,$ und $\delta \mathrm {A} _{0},\delta \mathrm {B} _{0},\delta \Gamma _{0}\,$ ergeben sich aber aus unsern allgemeinen Formeln [(40. d, g) auf pag. 47, 48] die Werthe:

${\begin{aligned}\delta x_{0}&=0,&\quad \quad \delta \mathrm {A} _{0}&=0,\\\delta y_{0}&=-z_{0}\delta \omega ,&\quad \quad \delta \mathrm {B} _{0}&=-\Gamma _{0}\delta \omega ,\\\delta z_{0}&=+y_{0}\delta \omega ,&\quad \quad \delta \Gamma _{0}&=+\mathrm {B} _{0}\delta \omega ,\end{aligned}}\,$

falls man nämlich unter $\delta \omega \,$ den unendlich kleinen Winkel versteht, um welchen der Ring $A\,$ um die $x\,$Axe gedreht worden ist. Somit folgt:

${\begin{aligned}\delta \varphi &=\left(y_{0}{\frac {\partial \varphi }{\partial z_{0}}}-z_{0}{\frac {\partial \varphi }{\partial y_{0}}}\right)\delta \omega ,\\\delta \mathrm {E} &=(\mathrm {B} _{0}\Gamma _{1}-\mathrm {B} _{1}\Gamma _{0})\delta \omega .\end{aligned}}\,$

Substituirt man aber diese Werthe in (33.), so ergiebt sich

$(34.)\,$

${\frac {\delta P}{\delta \omega }}=-A^{2}J_{0}J_{1}\cdot {\mathit {\Sigma \Sigma }}\ \mathrm {D} s_{0}\mathrm {D} s_{1}\left\lbrace \left(y_{0}{\frac {\partial \varphi }{\partial z_{0}}}-z_{0}{\frac {\partial \varphi }{\partial y_{0}}}\right)\mathrm {E} +\varphi (\mathrm {B} _{0}\Gamma _{1}-\mathrm {B} _{1}\Gamma _{0})\right\rbrace \,$

und hieraus folgt mit Rücksicht auf (27.) sofort:

$(35.)\,$

${\mathit {\Sigma }}(y_{0}{Z_{0}}^{B}-z_{0}{Y_{0}}^{B})=-{\frac {\delta P}{\delta \omega }}.\,$

D.h. das von $B\,$ auf $A\,$ in Bezug auf die $x\,$ Achse ausgeübte Drehungsmoment ist, abgesehen vom Vorzeichen, gleich dem Differentialquotienten des Potentiales $P\,$ nach einer Drehung von $A\,$ um jene Achse; — ein Satz, welcher überein­stimmt mit dem schon früher (pag. 56) erhaltenen Resultat.

---

1. Die Formeln (21.), (22.), (23.) sind, ziemlich in derselben Gestalt, bereits von Ampère gegeben in seiner Théorie des phénomènes élektrodynamiques (da­selbst pag. 136). Ueberhaupt ist der im gegenwärtigen §. eingeschlagene Weg bis zu dieser Stelle ziemlich in Uebereinstimmung mit den in jener Theorie ge­gebenen Deductionen. Von hier ab folgen nun aber diejenigen Entwicklungen, welche sich vorfinden in der am Schluss des vorhergehenden §. (Note, pag.67) genannten Abhandlung.
2. Selbstverständlich ist hier immer nur von den Kräften eldy. Us die Rede. Genauer ausgedrückt müsste man also sagen: die translatorische Wirkung eldy. Us, ebenso das Drehungsmoment eldy. Us. Doch mag der Zusatz eldy. Us, der Bequemlichkeit willen, hier und im Folgenden zuweilen unterdrückt werden.
3. Die Ausdrücke (28.) würden nämlich als die scheinbaren Elementarkräfte mit Bezug auf drehende Bewegungen nur dann angesehen werden können, wenn das in der Formel (27.) enthaltene Glied

   ${\mathit {\Sigma \Sigma }}\ \mathrm {D} s_{0}\mathrm {D} s_{1}\ \varphi (\mathrm {B} _{0}\Gamma _{1}-\mathrm {B} _{1}\Gamma _{0})\,$

   
   jederzeit Null wäre. Dass solches aber nicht der Fall ist, ergiebt sich leicht, z. B. durch Betrachtung unendlich kleiner Ströme

   WS: Die auf der Folgeseite fortgesetzte Fußnote wurde hier fortgeführt