Die elektrischen Kräfte/Zusammenstellung:§12

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§. 12. Andere Methode zur Entwicklung der Theorie des elektro­dynamischen Potentiales.


     Es seien gegeben irgend zwei geschlossene Curven; irgend ein|
Die ponderomotorischen Kräfte eldy. Ursprungs für

Punct der einen habe die Coordinaten und die Bogenlänge ebenso irgend ein Punct der andern die Coordinaten und die Bogenlänge endlich sei



Alsdann folgt durch Differentiation nach und



wo die bekannten Bedeutungen (pag. 44) besitzen.

     Bezeichnet nun eine willkührlich gegebene, lediglich von abhängende Function, so wird:




also mit Rücksicht auf (2.)



oder, wenn man setzt:



Zufolge (1.) ist aber Somit ergiebt sich:



     Multiplicirt man diese Gleichung mit den Bogenelementen und integrirt sodann über sämmtliche Elemente beider Curven, so entsteht die Formel:



in welcher offenbar ebenso wie eine willkührliche Function von oder (was dasselbe) von ist. Diese Formel (8.) führt sofort zu folgendem Satz:

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lineare Leiter. — Neumann’s Potential und Integralgesetz.


     Sind und beliebige Functionen von jedoch mit einander verbunden durch die Relation:



so wird jederzeit die Gleichung stattfinden:



die Integration ausgedehnt über zwei geschlossene Curven von beliebiger Gestalt und Lage.

     Beiläufig sei bemerkt, dass (zufolge dieses Satzes) z. B. die Glei­chung stattfindet:



denn für wird [zufolge (9.)]: ebenfalls




     Solches vorausgeschickt, gehen wir über zum eigentlichen Gegen­stande. Die eben betrachteten Curven mögen zwei gleichförmige Stromringe ohne Gleitstellen repräsentiren, und Es seien:

und zwei Elemente der Ringe und
und die Coordinaten derselben;
und die Richtungscosinus von und
wo die Richtungscosinus der Linie vorstellen sollen, gerechnet von nach
die ponderomotorische Kraft eldy. Us, mit welcher einwirkt auf
die Componenten dieser Kraft
die Componenten derjenigen ponderomotorischen. Kraft eldy. Us, welche auf das einzelne Element aus­geübt wird vom ganzen Ringe
das elektrodynamische Potential der beiden Ringe und auf einander.

     Es sei sogleich bemerkt, dass dieses Potential (vergl. pag. 56) den Werth hat:


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Die ponderomotorischen Kräfte eldy. Ursprungs für

und daher, zufolge des Satzes (9.), (10.), auch ausgedrückt werden kann durch



vorausgesetzt, dass man unter eine Function von versteht, welche mit verbunden ist durch die Relation:



     Dieser Relation entsprechend, und in Uebereinstimmung mit einer früheren Festsetztung (pag. 46), sollen im Folgenden



als Functionen aufgefasst werden, welche für beträchtliche iden­tisch respective mit und für sehr kleine hingegen von noch unbekannter Beschaffenheit sind.

     Die Kraft hat nach dem Ampère’schen Gesetz (pag. 44) den Werth:



ihre Componente wird daher:



Hieraus ergiebt sich durch Summation über sämmtliche Elemente sofort:



d.i.


wo für den Augenblick und gesetzt worden ist.

     Nun gilt allgemein für beliebige Functionen die Gleichung:



Hieraus folgt, wenn für die genannten Bedeutungen substituirt werden:



Somit ergiebt sich aus (17.)

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lineare Leiter. — Neumann’s Potential und Integralgesetz.



oder wenn man an Stelle der Function die mit dieser durch die Relation (13.) verbundene Function einführt:



Beachtet man nun, dass die Richtungscosinus von und mit und bezeichnet worden sind; so erhält man successive:



Somit folgt aus (19.):



Analoge Formeln werden offenbar auch für und gelten, so dass man also schreiben kann:





Aus den beiden letzten Formeln [1] folgt sofort:


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Die ponderomotorischen Kräfte eldy. Ursprungs für

wo zur Abkürzung gesetzt ist. Nun wird offenbar:



also mit Rücksicht auf die Bedeutung von



Folglich kann die Formel (24.) auch so geschrieben werden:


     Summirt man nun die Formel (21.) über sämmtliche Elemente des Ringes so erhält man:



und in analoger Weise erhält man aus (25.):



Die Formeln (26.) und (27.) repräsentiren offenbar diejenige trans­latorische Wirkung und dasjenige Drehungsmoment, welche auf ausübt respective in der Richtung der Achse und in Bezug auf diese Achse[2].

     Beiläufig bemerkt geht aus diesen Formeln (26.), (27.) deutlich hervor, dass die Ausdrücke



als die scheinbaren Kräfte zwischen den Elementen ge­schlossener Ströme bezeichnet werden können mit Bezug auf fortschreitende, nicht aber mit Bezug auf drehende Be­wegungen [3].

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lineare Leiter. — Neumann’s Potential und Integralgesetz.


     Das elektrodynamische Potential der beiden Ringe und aufeinander hat nach (12.b) den Werth:



Denken wir uns den Ring sich selber parallel in der Richtung der Achse unendlich wenig verschoben, so resultirt für das Potential ein Zuwachs



wo die Verschiebung des Punktes vorstellt. Bezeichnet man den gemeinschaftlichen Werth, welchen die Verschiebung für sämmtliche Puncte des Ringes besitzt, mit so folgt:



also mit Rücksicht auf (26.):



D.h. die von auf in der Richtung der Achse aus­geübte translatorische Wirkung ist, abgesehen vom Vor­zeichen, gleich dem Differentialquotienten des Potentiales nach einer Verschiebung von in jener Richtung. Das ist derselbe Satz, der schon früher (pag. 55) auf anderem Wege ge­funden war.

     Denken wir uns andererseits dem Ringe eine unendlich kleine Drehung um die Axe zuertheilt, so wird das Potential (29.) einen Zuwachs erhalten:



wo die Bedeutungen haben:


Für die Veränderungen und ergeben sich aber aus unsern allgemeinen Formeln [(40. d, g) auf pag. 47, 48] die Werthe:

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falls man nämlich unter den unendlich kleinen Winkel versteht, um welchen der Ring um die Axe gedreht worden ist. Somit folgt:



Substituirt man aber diese Werthe in (33.), so ergiebt sich



und hieraus folgt mit Rücksicht auf (27.) sofort:



D.h. das von auf in Bezug auf die Achse ausgeübte Drehungsmoment ist, abgesehen vom Vorzeichen, gleich dem Differentialquotienten des Potentiales nach einer Drehung von um jene Achse; — ein Satz, welcher überein­stimmt mit dem schon früher (pag. 56) erhaltenen Resultat.


  1. Die Formeln (21.), (22.), (23.) sind, ziemlich in derselben Gestalt, bereits von Ampère gegeben in seiner Théorie des phénomènes élektrodynamiques (da­selbst pag. 136). Ueberhaupt ist der im gegenwärtigen §. eingeschlagene Weg bis zu dieser Stelle ziemlich in Uebereinstimmung mit den in jener Theorie ge­gebenen Deductionen. Von hier ab folgen nun aber diejenigen Entwicklungen, welche sich vorfinden in der am Schluss des vorhergehenden §. (Note, pag.67) genannten Abhandlung.
  2. Selbstverständlich ist hier immer nur von den Kräften eldy. Us die Rede. Genauer ausgedrückt müsste man also sagen: die translatorische Wirkung eldy. Us, ebenso das Drehungsmoment eldy. Us. Doch mag der Zusatz eldy. Us, der Bequemlichkeit willen, hier und im Folgenden zuweilen unterdrückt werden.
  3. Die Ausdrücke (28.) würden nämlich als die scheinbaren Elementarkräfte mit Bezug auf drehende Bewegungen nur dann angesehen werden können, wenn das in der Formel (27.) enthaltene Glied


    jederzeit Null wäre. Dass solches aber nicht der Fall ist, ergiebt sich leicht, z. B. durch Betrachtung unendlich kleiner Ströme

    WS: Die auf der Folgeseite fortgesetzte Fußnote wurde hier fortgeführt