| §. 12. Andere Methode zur Entwicklung der Theorie des elektrodynamischen Potentiales.
Es seien gegeben irgend zwei geschlossene Curven; irgend ein
| Die ponderomotorischen Kräfte eldy. Ursprungs für
Punct der einen habe die Coordinaten
und die Bogenlänge
ebenso irgend ein Punct der andern die Coordinaten
und die Bogenlänge
endlich sei
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Alsdann folgt durch Differentiation nach
und
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wo
die bekannten Bedeutungen (pag. 44) besitzen.
Bezeichnet nun
eine willkührlich gegebene, lediglich von
abhängende Function, so wird:
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also mit Rücksicht auf (2.)
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oder, wenn man
setzt:
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Zufolge (1.) ist aber
Somit ergiebt sich:
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Multiplicirt man diese Gleichung mit den Bogenelementen
und integrirt sodann über sämmtliche Elemente beider Curven, so entsteht die Formel:
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in welcher offenbar
ebenso wie
eine willkührliche Function von
oder (was dasselbe) von
ist. Diese Formel (8.) führt sofort zu folgendem Satz:
| lineare Leiter. — Neumann’s Potential und Integralgesetz.
Sind
und
beliebige Functionen von
jedoch mit einander verbunden durch die Relation:
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so wird jederzeit die Gleichung stattfinden:
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die Integration ausgedehnt über zwei geschlossene Curven von beliebiger Gestalt und Lage.
Beiläufig sei bemerkt, dass (zufolge dieses Satzes) z. B. die Gleichung stattfindet:
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denn für
wird [zufolge (9.)]:
ebenfalls
Solches vorausgeschickt, gehen wir über zum eigentlichen Gegenstande. Die eben betrachteten Curven mögen zwei gleichförmige Stromringe ohne Gleitstellen repräsentiren,
und
Es seien:
und
zwei Elemente der Ringe
und ![{\displaystyle B;\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09c973bf004a47ee9d5c173ce376d63b0f2bb0a0)
und
die Coordinaten derselben;
![{\displaystyle r={\sqrt {(x_{0}-x_{1})^{2}+(y_{0}-y_{1})^{2}+(z_{0}-z_{1})^{2}}};\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a5a4e3a75d4e88883a15b79e438b60a56ad2c31)
und
die Richtungscosinus von
und ![{\displaystyle \mathrm {D} s_{1};\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7055766d4d4bd88b07d2d0a9b4973d5c9dbd2137)
![{\displaystyle \mathrm {E} =\mathrm {A} _{0}\mathrm {A} _{1}+\mathrm {B} _{0}\mathrm {B} _{1}+\Gamma _{0}\Gamma _{1};\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/511650c4b5ecea1b97c6a5d4628df54e7a263dab)
![{\displaystyle \Theta _{0}=\mathrm {A} \mathrm {A} _{0}+\mathrm {B} \mathrm {B} _{0}+\Gamma \Gamma _{0},\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ca7a108b559be48b88a399e4698cf12c765924a)
wo
die Richtungscosinus der Linie
vorstellen sollen, gerechnet von
nach ![{\displaystyle \mathrm {D} s_{0};\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7c1dfd22fb63c2b1ff67fc583baa64778cbf937)
die ponderomotorische Kraft eldy. Us, mit welcher
einwirkt auf ![{\displaystyle J_{0}\mathrm {D} s_{0};\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e342edad230fcc6a7e937646b6f8b50430c5db2)
die Componenten dieser Kraft ![{\displaystyle R;\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8c8074e4f438c29f84af1dd45ae99150bc4ba72)
die Componenten derjenigen ponderomotorischen. Kraft eldy. Us, welche auf das einzelne Element
ausgeübt wird vom ganzen Ringe ![{\displaystyle B;\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09c973bf004a47ee9d5c173ce376d63b0f2bb0a0)
das elektrodynamische Potential der beiden Ringe
und
auf einander.
Es sei sogleich bemerkt, dass dieses Potential
(vergl. pag. 56) den Werth hat:
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| Die ponderomotorischen Kräfte eldy. Ursprungs für
und daher, zufolge des Satzes (9.), (10.), auch ausgedrückt werden kann durch
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vorausgesetzt, dass man unter
eine Function von
versteht, welche mit
verbunden ist durch die Relation:
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Dieser Relation entsprechend, und in Uebereinstimmung mit einer früheren Festsetztung (pag. 46), sollen im Folgenden
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als Functionen aufgefasst werden, welche für beträchtliche
identisch respective mit
und
für sehr kleine
hingegen von noch unbekannter Beschaffenheit sind.
Die Kraft
hat nach dem Ampère’schen Gesetz (pag. 44) den Werth:
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ihre
Componente wird daher:
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Hieraus ergiebt sich durch Summation über sämmtliche Elemente
sofort:
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d.i.
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wo für den Augenblick
und
gesetzt worden ist.
Nun gilt allgemein für beliebige Functionen
die Gleichung:
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Hieraus folgt, wenn für
die genannten Bedeutungen substituirt werden:
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Somit ergiebt sich aus (17.)
| lineare Leiter. — Neumann’s Potential und Integralgesetz.
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oder wenn man an Stelle der Function
die mit dieser durch die Relation (13.) verbundene Function
einführt:
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Beachtet man nun, dass die Richtungscosinus von
und
mit
und
bezeichnet worden sind; so erhält man successive:
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Somit folgt aus (19.):
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Analoge Formeln werden offenbar auch für
und
gelten, so dass man also schreiben kann:
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Aus den beiden letzten Formeln [1] folgt sofort:
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| Die ponderomotorischen Kräfte eldy. Ursprungs für
wo zur Abkürzung
gesetzt ist. Nun wird offenbar:
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also mit Rücksicht auf die Bedeutung von
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Folglich kann die Formel (24.) auch so geschrieben werden:
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Summirt man nun die Formel (21.) über sämmtliche Elemente
des Ringes
so erhält man:
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und in analoger Weise erhält man aus (25.):
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Die Formeln (26.) und (27.) repräsentiren offenbar diejenige translatorische Wirkung und dasjenige Drehungsmoment, welche
auf
ausübt respective in der Richtung der
Achse und in Bezug auf diese Achse[2].
Beiläufig bemerkt geht aus diesen Formeln (26.), (27.) deutlich hervor, dass die Ausdrücke
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als die scheinbaren Kräfte zwischen den Elementen geschlossener Ströme bezeichnet werden können mit Bezug auf fortschreitende, nicht aber mit Bezug auf drehende Bewegungen [3].
| lineare Leiter. — Neumann’s Potential und Integralgesetz.
Das elektrodynamische Potential
der beiden Ringe
und
aufeinander hat nach (12.b) den Werth:
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Denken wir uns den Ring
sich selber parallel in der Richtung der
Achse unendlich wenig verschoben, so resultirt für das Potential
ein Zuwachs
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wo
die Verschiebung des Punktes
vorstellt. Bezeichnet man den gemeinschaftlichen Werth, welchen die Verschiebung
für sämmtliche Puncte des Ringes
besitzt, mit
so folgt:
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also mit Rücksicht auf (26.):
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D.h. die von
auf
in der Richtung der
Achse ausgeübte translatorische Wirkung ist, abgesehen vom Vorzeichen, gleich dem Differentialquotienten des Potentiales
nach einer Verschiebung von
in jener Richtung. Das ist derselbe Satz, der schon früher (pag. 55) auf anderem Wege gefunden war.
Denken wir uns andererseits dem Ringe
eine unendlich kleine Drehung um die
Axe zuertheilt, so wird das Potential
(29.) einen Zuwachs erhalten:
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wo
die Bedeutungen haben:
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Für die Veränderungen
und
ergeben sich aber aus unsern allgemeinen Formeln [(40. d, g) auf pag. 47, 48] die Werthe:
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falls man nämlich unter
den unendlich kleinen Winkel versteht, um welchen der Ring
um die
Axe gedreht worden ist. Somit folgt:
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Substituirt man aber diese Werthe in (33.), so ergiebt sich
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und hieraus folgt mit Rücksicht auf (27.) sofort:
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D.h. das von
auf
in Bezug auf die
Achse ausgeübte Drehungsmoment ist, abgesehen vom Vorzeichen, gleich dem Differentialquotienten des Potentiales
nach einer Drehung von
um jene Achse; — ein Satz, welcher übereinstimmt mit dem schon früher (pag. 56) erhaltenen Resultat.
- ↑ Die Formeln (21.), (22.), (23.) sind, ziemlich in derselben Gestalt, bereits von Ampère gegeben in seiner Théorie des phénomènes élektrodynamiques (daselbst pag. 136). Ueberhaupt ist der im gegenwärtigen §. eingeschlagene Weg bis zu dieser Stelle ziemlich in Uebereinstimmung mit den in jener Theorie gegebenen Deductionen. Von hier ab folgen nun aber diejenigen Entwicklungen, welche sich vorfinden in der am Schluss des vorhergehenden §. (Note, pag.67) genannten Abhandlung.
- ↑ Selbstverständlich ist hier immer nur von den Kräften eldy. Us die Rede. Genauer ausgedrückt müsste man also sagen: die translatorische Wirkung eldy. Us, ebenso das Drehungsmoment eldy. Us. Doch mag der Zusatz eldy. Us, der Bequemlichkeit willen, hier und im Folgenden zuweilen unterdrückt werden.
- ↑ Die Ausdrücke (28.) würden nämlich als die scheinbaren Elementarkräfte mit Bezug auf drehende Bewegungen nur dann angesehen werden können, wenn das in der Formel (27.) enthaltene Glied
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jederzeit Null wäre. Dass solches aber nicht der Fall ist, ergiebt sich leicht, z. B. durch Betrachtung unendlich kleiner Ströme
WS: Die auf der Folgeseite fortgesetzte Fußnote wurde hier fortgeführt