Die elektrischen Kräfte/Zusammenstellung:§38

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§. 38. Das für die elektromotorischen Kräfte von F. Neumann proponirte Elementargesetz.

Dieses Gesetz kann für den Fall, dass der inducirende Strom von constanter^[1] Stärke ist, in folgender Weise ausgesprochen werden:

„Befinden sich die beiden Stromelemente $J_{0}{\mathsf {D}}s_{0}$ und $J_{1}{\mathsf {D}}s_{1}$ ( $J_{1}$ = Const.) in beliebigen Bewegungen, und soll diejenige elektromotorische Kraft

(15.)

{\mathfrak {E}}dt

angegeben werden, welche

J_{1}{\mathsf {D}}s_{1}

während der Zeit

dt

in

J_{0}{\mathsf {D}}s_{0}

,

[220]

| und zwar in der Richtung von

{\mathsf {D}}s_{0}

, hervorbringt, so construire man die augenblickliche relative Geschwindigkeit

(16.)

v\,

von $J_{0}{\mathsf {D}}s_{0}$ in Bezug auf $J_{1}{\mathsf {D}}s_{1}$ , construire ferner diejenige ponderomotorische Kraft

(17.)

{\mathsf {P}}'={\mathsf {D}}s_{0}\cdot J_{1}{\mathsf {D}}s_{1}\cdot {\mathsf {P}},

welche $J_{1}{\mathsf {D}}s_{1}$ (nach dem Ampère’schen Gesetz) auf das Element ${\mathsf {D}}s_{0}$ ausüben würde, falls letzteres durchflossen wäre von einem Strom von der Starke Eins; — alsdann hat jene gesuchte Kraft (15.) den Werth^[2]:

(18.a)

{\mathfrak {E}}dt=-J_{1}{\mathsf {D}}s_{1}\cdot v{\mathsf {P}}\cos(v,{\mathsf {P}})dt,

wo ( $v,{\mathsf {P}}$ ) den Neigungswinkel von $v$ gegen die Richtung ${\mathsf {P}}$ oder ${\mathsf {P}}'$ vorstellt.“

„Uebrigens kann die Formel (18.a) auch so geschrieben werden:

(18.b)

{\mathfrak {E}}dt=-J_{1}{\mathsf {D}}s_{1}\cdot {\mathsf {P}}dr,

wo $dr$ diejenige Veränderung bezeichnet, welche die Entfernung $r$ der beiden Elemente $J_{0}{\mathsf {D}}s_{0},\ J_{1}{\mathsf {D}}s_{1}$ erfährt während der Zeit $dt$ .“

Der Uebergang von (18.a) zu (18.b) ergiebt sich leicht. Sind

[221]

| nämlich

{\mathsf {P}}_{x},{\mathsf {P}}_{y},{\mathsf {P}}_{z}

die rechtwinkligen Componenten der Kraft

{\mathsf {P}}

, und

v_{x},v_{y},v_{z}

diejenigen von

v

, so wird:

v{\mathsf {P}}\cos(v,{\mathsf {P}})=v_{x}{\mathsf {P}}_{x}+v_{y}{\mathsf {P}}_{y}+v_{z}{\mathsf {P}}_{z}.

Diese Formel aber kann, wenn man die Coordinaten der beiden Elemente $J_{0}{\mathsf {D}}s_{0}$ und $J_{1}{\mathsf {D}}s_{1}$ mit $x_{0},y_{0},z_{0}$ und $x_{1},y_{1},z_{1}$ , ferner ihre gegenseitige Entfernung mit $r$ bezeichnet, offenbar auch so dargestellt werden:

{\begin{array}{ll}v{\mathsf {P}}\cos(v,{\mathsf {P}})&={\mathsf {P}}_{x}{\frac {d\left(x_{0}-x_{1}\right)}{dt}}+{\mathsf {P}}_{y}{\frac {d\left(y_{0}-y_{1}\right)}{dt}}+{\mathsf {P}}_{z}{\frac {d\left(z_{0}-z_{1}\right)}{dt}},\\\\&={\mathsf {P}}\left[{\frac {x_{0}-x_{1}}{r}}{\frac {d\left(x_{0}-x_{1}\right)}{dt}}+\cdots \right],\\\\&={\mathsf {P}}{\frac {dr}{dt}};\end{array}}

und hiedurch findet jener Uebergang von (18.a) zu (18.b) seine Rechtfertigung.

Das Gesetz (18.a,b) bezieht sich, wie bereits betont wurde, nur auf den Fall, dass die Stromstärke $J_{1}$ des inducirenden Elementes constant ist. Für den allgemeineren Fall, dass dieses $J_{1}$ im Laufe der Zeit beliebig sich ändert, gelangte mein Vater durch Ueberlegungen, auf welche ich hier nicht näher eingehen werde, zu einem Gesetze, welches etwa in folgender Weise ausgesprochen werden kann.

„Befinden sich zwei lineare Stromelemente $J_{0}{\mathsf {D}}s_{0},\ J_{1}{\mathsf {D}}s_{1}$ in irgend welchen Bewegungen, und die in ihnen enthaltenen Stromstärken in irgend welchen Zuständen der Veränderung, so wird diejenige elektromotorische Kraft

(19.)

{\mathfrak {E}}dt

welche $J_{1}{\mathsf {D}}s_{1}$ während der Zeit $dt$ in irgend einem Puncte von $J_{0}{\mathsf {D}}s_{0}$ , und zwar in der Richtung von ${\mathsf {D}}s_{0}$ , hervorruft, einen Werth haben, welcher nach Belieben sich darstellen lässt durch:

(20.a)

{\mathfrak {E}}dt=-J_{1}{\mathsf {D}}s_{1}\cdot v{\mathsf {P}}\cos(v,{\mathsf {P}})dt+\left(dJ_{1}\right){\mathsf {D}}s_{1}\cdot \Phi ,

oder auch durch:

(20.b)

{\mathfrak {E}}dt=-J_{1}{\mathsf {D}}s_{1}\cdot {\mathsf {P}}\ dr+\left(dJ_{1}\right){\mathsf {D}}s_{1}\cdot \Phi ,

In diesen Formeln (20.a,b) hat das erste Glied rechter Hand genau dieselbe Bedeutung, wie in (18.a,b).“

„Das in (20.a,b) enthaltene $\Phi$ bezeichnet einen Ausdruck, welcher die charakteristische Eigenschaft besitzt, dass das über irgend zwei geschlossene Curven ( $s_{0}$ ) und ( $s_{1}$ ) ausgedehnte Integral (21.)

(21.)

\Sigma \Sigma \ \left[{\mathsf {D}}s_{0}{\mathsf {D}}s_{1}\Phi \right]

jederzeit identisch ist mit demjenigen elektrodynamischen Potential $Q$ , welches zwischen diesen Curven stattfindet, falls jede derselben angesehen wird als ein elektrischer Strom von der Stärke Eins.“

[222]

| Das eben genannte Potential

Q

kann, für den Fall beträchtlicher Entfernungen (vergl. pag. 57), nach Belieben dargestellt werden durch:

(22.

\xi

)

Q=-A^{2}\cdot \Sigma \Sigma {\frac {{\mathsf {D}}s_{0}{\mathsf {D}}s_{1}\Theta _{0}\Theta _{1}}{r}},

oder auch durch:

(22.

\eta

)

Q=-A^{2}\cdot \Sigma \Sigma {\frac {{\mathsf {D}}s_{0}{\mathsf {D}}s_{1}{\mathsf {E}}}{r}},

wo $\Theta _{0},\Theta _{1},{\mathsf {E}}$ die bekannten Cosinus des Ampère’schen Gesetzes (pag. 44) vorstellen.

Entsprechend diesen beiderlei Formeln (22. $\xi$ ) und (22. $\eta$ ), sind von meinem Vater für den Ausdruck $\Phi$ folgende zwei von einander verschiedene Werthe proponirt worden:

(23.

\xi

)

\Phi =-A^{2}{\frac {\Theta _{0}\Theta _{1}}{r}}=+A^{2}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial r}{\partial s_{0}}}{\frac {\partial r}{\partial s_{1}}},

(23.

\eta

)

\Phi =-A^{2}{\frac {\mathsf {E}}{r}}=+A^{2}{\frac {1}{2r}}{\frac {\partial ^{2}\left(r^{2}\right)}{\partial s_{0}\partial s_{1}}},

ohne bestimmte Entscheidung zu Gunsten des einen oder andern^[3].

↑ Vergl. die Note pag. 97.

↑ Multiplicirt man die Formel (18.a) mit

{\mathsf {D}}s_{0}

, und führt man gleichzeitig an Stelle von

{\mathsf {P}}

die in (17.) angegebene Kraft

{\mathsf {P}}'

ein, so erhält man:

(\alpha .)

{\mathfrak {E}}{\mathsf {D}}s_{0}dt=-v{\mathsf {P}}'\cos(v,{\mathsf {P}}')dt.

Diese Formel aber ist, falls man den Factor $dt$ unterdrückt, in voller Uebereinstimmung mit derjenigen Formel

(\beta .)

E{\mathsf {D}}s_{0}=-\epsilon v\left(C{\mathsf {D}}s_{0}\right),

durch welche das in Rede stehende Gesetz von meinem Vater ausgesprochen ist, in seiner Abhandlung vom Jahre 1845 (zu Ende des §. 1.). Daselbst ist nämlich unter $E$ die Kraft ${\mathfrak {E}}$ , ferner unter $\left(C{\mathsf {D}}s_{0}\right)$ die Componente ${\mathsf {P}}'\cos({\mathsf {P}}',v)$ zu verstehen. Der einzige Unterschied zwischen den Formeln $(\alpha .)$ und $(\beta .)$ besteht also im Factor $\epsilon$ ; und dieser Unterschied findet seine Erklärung darin, dass bei den von mir zu Grunde gelegten Maasseinheiten jenes $\epsilon$ den Werth Eins hat (vergl. pag. 6 und 107).
Dass im Sinne meines Vaters die Formel $(\beta .)$ wirklich diejenige Kraft angiebt, welche im Elemente $J_{0}{\mathsf {D}}s_{0}$ hervorgebracht wird durch ein einzelnes Element des Inducenten, lässt sich allerdings aus der genannten Stelle (Ende des §. 1.) der Abhandlung noch nicht erkennen, geht aber deutlich hervor aus einer späteren Stelle derselben Abhandlung (Anfang des §. 4.).
Die Formel $(\beta .)$ findet sich übrigens auch vor in der zweiten Abhandlung meines Vaters, vom Jahre 1847 (daselbst zu Anfang des §. 1.). Nur ist dort die Bezeichnungsweise ein wenig anders, denn die dortige Formel lautet:

(\gamma .)

E{\mathsf {D}}s_{0}=-\epsilon v\left(C{\mathsf {D}}s_{0}\right)dt.

Während also in $(\beta .)$ das $E$ identisch ist mit meinem ${\mathfrak {E}}$ , ist andererseits in $(\gamma .)$ das $E$ identisch mit meinem ${\mathfrak {E}}dt$ .

↑ Dass das von meinem Vater proponirte Elementargesetz in der That in der hier angegebenen Weise, nämlich durch die Formeln (20.a,b) sich darstellen lässt, wird man leicht erkennen, sobald man die drei ersten Seiten des §. 4. der betreffenden Abhandlung (Ueber ein allgemeines Princip etc., vom 9. August, 1847) einer sorgfältigen Durchsicht unterwirft.
Auch die Angaben (23. $\xi ,\eta$ ) wird man mit der citirten Stelle jener Abhandlung in Einklang finden, sobald man nur beachtet, dass bei meinem Vater die Constante $A^{2}$ stets $={\tfrac {1}{2}}$ gesetzt ist.

[1] Vergl. die Note pag. 97.

[2] Multiplicirt man die Formel (18.a) mit ${\mathsf {D}}s_{0}$ , und führt man gleichzeitig an Stelle von ${\mathsf {P}}$ die in (17.) angegebene Kraft ${\mathsf {P}}'$ ein, so erhält man:

$(\alpha .)$ ${\mathfrak {E}}{\mathsf {D}}s_{0}dt=-v{\mathsf {P}}'\cos(v,{\mathsf {P}}')dt.$

Diese Formel aber ist, falls man den Factor $dt$ unterdrückt, in voller Uebereinstimmung mit derjenigen Formel

$(\beta .)$ $E{\mathsf {D}}s_{0}=-\epsilon v\left(C{\mathsf {D}}s_{0}\right),$

durch welche das in Rede stehende Gesetz von meinem Vater ausgesprochen ist, in seiner Abhandlung vom Jahre 1845 (zu Ende des §. 1.). Daselbst ist nämlich unter $E$ die Kraft ${\mathfrak {E}}$ , ferner unter $\left(C{\mathsf {D}}s_{0}\right)$ die Componente ${\mathsf {P}}'\cos({\mathsf {P}}',v)$ zu verstehen. Der einzige Unterschied zwischen den Formeln $(\alpha .)$ und $(\beta .)$ besteht also im Factor $\epsilon$ ; und dieser Unterschied findet seine Erklärung darin, dass bei den von mir zu Grunde gelegten Maasseinheiten jenes $\epsilon$ den Werth Eins hat (vergl. pag. 6 und 107).
Dass im Sinne meines Vaters die Formel $(\beta .)$ wirklich diejenige Kraft angiebt, welche im Elemente $J_{0}{\mathsf {D}}s_{0}$ hervorgebracht wird durch ein einzelnes Element des Inducenten, lässt sich allerdings aus der genannten Stelle (Ende des §. 1.) der Abhandlung noch nicht erkennen, geht aber deutlich hervor aus einer späteren Stelle derselben Abhandlung (Anfang des §. 4.).
Die Formel $(\beta .)$ findet sich übrigens auch vor in der zweiten Abhandlung meines Vaters, vom Jahre 1847 (daselbst zu Anfang des §. 1.). Nur ist dort die Bezeichnungsweise ein wenig anders, denn die dortige Formel lautet:

$(\gamma .)$ $E{\mathsf {D}}s_{0}=-\epsilon v\left(C{\mathsf {D}}s_{0}\right)dt.$

Während also in $(\beta .)$ das $E$ identisch ist mit meinem ${\mathfrak {E}}$ , ist andererseits in $(\gamma .)$ das $E$ identisch mit meinem ${\mathfrak {E}}dt$ .

[3] Dass das von meinem Vater proponirte Elementargesetz in der That in der hier angegebenen Weise, nämlich durch die Formeln (20.a,b) sich darstellen lässt, wird man leicht erkennen, sobald man die drei ersten Seiten des §. 4. der betreffenden Abhandlung (Ueber ein allgemeines Princip etc., vom 9. August, 1847) einer sorgfältigen Durchsicht unterwirft.
Auch die Angaben (23. $\xi ,\eta$ ) wird man mit der citirten Stelle jener Abhandlung in Einklang finden, sobald man nur beachtet, dass bei meinem Vater die Constante $A^{2}$ stets $={\tfrac {1}{2}}$ gesetzt ist.

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