Die elektrischen Kräfte/Zusammenstellung:§39

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§. 39. Vergleichung des von F. Neumann proponirten Elementargesetzes und desjenigen andern Elementargesetzes, zu welchem die in den vorhergehenden Abschnitten angestellten Untersuchungen hingedrängt haben.

Der Kürze halber mag das erstere Gesetz mit (I.), das letztere mit (II.) bezeichnet werden. Für den Fall beträchtlicher Entfernungen (und auf diesen wollen wir uns hier beschränken) sind die beiden Gesetze (I.) und (II.) ausgedrückt durch folgende Formeln:

(24.I)

${\mathfrak {E}}dt=-J_{1}{\mathsf {D}}s_{1}\cdot {\mathsf {P}}dr+\left(dJ_{1}\right){\mathsf {D}}s_{1}\Phi ,\qquad [\mathrm {vergl} .\ (20.b)];$

(24.II)

${\begin{array}{ll}{\mathfrak {E}}dt=&-J_{1}{\mathsf {D}}s_{1}\cdot {\mathsf {P}}dr+\left(dJ_{1}\right){\mathsf {D}}s_{1}\left({\frac {-A^{2}\Theta _{0}\Theta _{1}}{r}}\right)\\\\&\qquad +J_{1}{\mathsf {D}}s_{1}{\frac {\partial }{\partial s_{1}}}\left({\frac {A^{2}\Theta _{0}dr}{r}}\right),\qquad [\mathrm {vergl} .\ (14.b)].\end{array}}$

Ueberall ist hier unter $dr$ der zeitliche Zuwachs von $r$ zu verstehen; so dass also dieses $dr$ [vergl. (1.) und (2.a,b)] dargestellt werden kann durch

(25.)

$dr={\frac {dr}{dt}}dt=\left({\frac {\partial r}{\partial \tau _{0}}}+{\frac {\partial r}{\partial \tau _{1}}}\right)dt.$

Ferner ist ${\mathsf {P}}$ definirt durch die Formel

(26.)

$R=J_{0}{\mathsf {D}}s_{0}\cdot J_{1}{\mathsf {D}}s_{1}\cdot {\mathsf {P}},$

falls man nämlich unter $R$ die zwischen den beiden Elementen $J_{0}{\mathsf {D}}s_{0}$ und $J_{1}{\mathsf {D}}s_{1}$ (nach dem Ampère’schen Gesetz) vorhandene ponderomotorische Kraft versteht.

Um die beiderlei Gesetze (24.I) und (24.II), oder vielmehr die Consequenzen dieser Gesetze miteinander zu vergleichen, stellen wir uns folgende Aufgabe:

(27.) .... „Es sind gegeben zwei gleichförmige Stromringe $\left(J_{0},s_{0}\right)$ und $\left(J_{1},s_{1}\right)$ oder $A$ und $B$, jeder behaftet mit beliebig vielen Gleitstellen, und jeder begriffen in beliebiger Bewegung. Es soll berechnet werden die Summe

$\left(\Sigma \Sigma \ {\mathfrak {E}}\ {\mathsf {D}}s_{0}\right)dt$

derjenigen elektromotorischen^[1] Kräfte, welche $B$ während der Zeit $dt$ in $A$ hervorbringt.“

Bezeichnet $Q$ das elektrodynamische Potential der beiden Ringe $A$ und $B$ aufeinander, bezogen auf die Stromeinheiten, so wird, einerlei ob Gleitstellen vorhanden sind oder nicht, die Formel stattfinden:

$J_{0}J_{1}dQ=-\Sigma \Sigma \ [R\ dr],$ [vergl. (85.), pag. 67].

Hieraus folgt durch Substitution des Werthes (26.) sofort:

(28.)

$dQ=-\Sigma \Sigma \ \left[{\mathsf {D}}s_{0}{\mathsf {D}}s_{1}\cdot {\mathsf {P}}\ dr\right].$

Nebenbei sei daran erinnert, dass die in den Gesetzen (24.I) und (24.II) enthaltenen Ausdrücke $\Phi$ und ${\frac {-A^{2}\Theta _{0}\Theta _{1}}{r}}$ zum Potential $Q$ [zufolge (21.) und (22.$\xi ,\eta$)] in der Beziehung stehen:

(29.I)

$Q=\Sigma \Sigma \ \left[{\mathsf {D}}s_{0}{\mathsf {D}}s_{1}\cdot \Phi \right],$

(29.II)

$Q=\Sigma \Sigma \ \left[{\mathsf {D}}s_{0}{\mathsf {D}}s_{1}\left({\frac {-A^{2}\Theta _{0}\Theta _{1}}{r}}\right)\right].$

Die im Augenblick $t$ d. i. zu Anfang des Zeitelementes $dt$ im Ringe $A$ enthaltenen Elemente mögen mit ${\mathsf {D}}s_{0}$ benannt sein; andererseits mögen diejenigen Elemente, welche während des Zeitelementes $dt$ in den Ring $A$ eintreten, oder aus ihm ausscheiden, in dem früher (pag. 65) angegebenen collectiven Sinne mit $\Delta s_{0}$ bezeichnet sein. Analoge Bedeutungen mögen ${\mathsf {D}}s_{1}$ und $\Delta s_{1}$ für den Ring $B$ besitzen.

Ausserdem mag vorläufig, der Bequemlichkeit willen, angenommen werden, dass die $\Delta s_{0}$ und $\Delta s_{1}$ sämmtlich positiv sind, dass also während der Zeit $dt$ in beiden Ringen nur eintretende, nicht aber ausscheidende Elemente vorhanden sind.

Nach diesen Vorbereitungen gehen wir an die Lösung der gestellten Aufgabe (27.), indem wir dabei zunächst das Gesetz (24.I) zu Grunde legen. Die von ${\mathsf {D}}s_{1}$ in ${\mathsf {D}}s_{0}$ während der Zeit $dt$ hervorgebrachte elektromotorische Kraft ${\mathfrak {E}}dt$ besitzt alsdann den Werth^[2]:

$(\alpha .)$

${\mathfrak {E}}dt=-J_{1}{\mathsf {D}}s_{1}\cdot {\mathsf {P}}\ dr+\left(dJ_{1}\right){\mathsf {D}}s_{1}\cdot \Phi .\qquad {\scriptstyle \left({{\mathsf {D}}s_{1} \atop {\mathsf {D}}s_{0}}\right)}$

Die analoge Formel für die elektromotorische Einwirkung eines Elementes $\Delta s_{1}$ auf ${\mathsf {D}}s_{0}$ lautet:

$(\beta .)$

${\mathfrak {E}}dt=-Y_{1}\Delta s_{1}\cdot {\mathsf {P}}\ dr+J_{1}\Delta s_{1}\cdot \Phi .\qquad {\scriptstyle \left({\Delta s_{1} \atop {\mathsf {D}}s_{0}}\right)}$

wo im ersten Gliede $Y_{1}$ den Werth 0 oder den Werth $J_{1}$, oder vielleicht auch einen Mittelwerth zwischen 0 und $J_{1}$ vorstellt; während andererseits das im zweiten Gliede enthaltene $J_{1}$ denjenigen Zuwachs repräsentirt, welchen die in $\Delta s_{1}$ vorhandene Stromstärke im Laufe der Zeit $dt$ erfahren hat. — Man bemerkt nun sofort, dass in dieser Formel $(\beta .)$ das eine Glied (in Folge der Factoren $\Delta s_{1}$, $dr$) unendlich klein zweiter Ordnung, das andere hingegen (in Folge des Factor $\Delta s_{1}$) unendlich klein erster Ordnung ist. Das Glied zweiter Ordnung wird aber gegenüber dem Gliede erster Ordnung zu vernachlässigen sein; so dass man erhält:

$(\gamma .)$

${\mathfrak {E}}dt=+J_{1}\Delta s_{1}\cdot \Phi .\qquad {\scriptstyle \left({\Delta s_{1} \atop {\mathsf {D}}s_{0}}\right)}$

Denkt man sich nun die Formel $(\alpha .)$ für sämmtliche ${\mathsf {D}}s_{1}$, und die Formel $(\gamma .)$ für sämmtliche $\Delta s_{1}$ der Reihe nach hingestellt, so gelangt man durch Addition all’ dieser Formeln zu dem Ergebniss:

$(\delta .)$

$(\Sigma \ {\mathfrak {E}})dt=-J_{1}\cdot \Sigma \left[{\mathsf {D}}s_{1}\cdot {\mathsf {P}}\ dr\right]+\left(dJ_{1}\right)\Sigma \left[{\mathsf {D}}s_{1}\cdot \Phi \right]+J_{1}\cdot \Sigma \left[\Delta s_{1}\cdot \Phi \right];\qquad {\scriptstyle \left({B \atop {\mathsf {D}}s_{0}}\right)}$

diess ist also die Summe^[3] derjenigen elektromotorischen Kräfte, welche der ganze Ring $B$ während der Zeit $dt$ im Elemente ${\mathsf {D}}s_{0}$ hervorbringt.

Aus $(\delta .)$ folgt durch Multiplication mit ${\mathsf {D}}s_{0}$ und Summation über sämmtliche ${\mathsf {D}}s_{0}$ sofort:

(30.I)

${\begin{array}{llc}(\Sigma \Sigma \ {\mathfrak {E}}\ {\mathsf {D}}s_{0})dt=&-J_{1}\cdot \Sigma \Sigma \left[{\mathsf {D}}s_{0}{\mathsf {D}}s_{1}\cdot {\mathsf {P}}\ dr\right]\\&+J_{1}\cdot \Sigma \Sigma \left[{\mathsf {D}}s_{0}\Delta s_{1}\cdot \Phi \right]&{\scriptstyle \left({B \atop A}\right)}\\&+\left(dJ_{1}\right)\cdot \Sigma \Sigma \left[{\mathsf {D}}s_{0}{\mathsf {D}}s_{1}\cdot \Phi \right].\end{array}}$

Dies ist also die gesuchte Summe (27.), berechnet unter Zugrundelegung des Gesetzes (24.I).— Allerdings scheinen bei dieser Rechnung die Elemente $\Delta s_{0}$ vergessen zu sein. Wollte man indessen die $\Delta s_{0}$ mit in Rechnung ziehen, so würde, weil die Anzahl der $\Delta s_{0}$ eine endliche, diejenige der ${\mathsf {D}}s_{0}$ hingegen unendlich gross ist, zu dem in (30.I) angegebenen Ausdruck nur noch ein Glied hinzutreten, welches diesem Ausdruck gegenüber verschwindend klein ist.

Nur der Bequemlichkeit willen war bisher vorausgesetzt, die $\Delta s_{0}$ und $\Delta s_{1}$ seien sämmtlich positiv. Nachträglich übersieht man leicht, dass die erhaltene Formel (30.I) auch dann noch gültig sein wird, wenn die $\Delta s_{0}$ und $\Delta s_{1}$ theils positiv theils negativ sind, also gültig sein wird, einerlei ob während der Zeit $dt$ in jedem der beiden Ringe nur eintretende, oder gleichzeitig auch ausscheidende Elemente vorhanden sind.

Von dem Gesetze (24.I) unterscheidet sich das Gesetz (24.II) dadurch, dass an Stelle von

${\mathsf {P}}\ dr$ und $\Phi$

die Ausdrücke

${\mathsf {P}}\ dr-{\frac {\partial }{\partial s_{1}}}\left({\frac {A^{2}\Theta _{0}dr}{r}}\right)$ und ${\frac {-A^{2}\Theta _{0}\Theta _{1}}{r}}$

sich vorfinden. Bei Zugrundelegung des Gesetzes (24.II) wird man daher an Stelle der Formel (30.I) folgende erhalten:

(30.II)

${\begin{array}{llc}(\Sigma \Sigma \ {\mathfrak {E}}\ {\mathsf {D}}s_{0})dt=&-J_{1}\cdot \Sigma \Sigma \left[{\mathsf {D}}s_{0}{\mathsf {D}}s_{1}\left\{{\mathsf {P}}\ dr-{\frac {\partial }{\partial s_{1}}}\left({\frac {A^{2}\Theta _{0}dr}{r}}\right)\right\}\right]\\&+J_{1}\cdot \Sigma \Sigma \left[{\mathsf {D}}s_{0}\Delta s_{1}\left({\frac {-A^{2}\Theta _{0}\Theta _{1}}{r}}\right)\right]&{\scriptstyle \left({B \atop A}\right)}\\&+\left(dJ_{1}\right)\cdot \Sigma \Sigma \left[{\mathsf {D}}s_{0}{\mathsf {D}}s_{1}\left({\frac {-A^{2}\Theta _{0}\Theta _{1}}{r}}\right)\right].\end{array}}$

Beachtet man, dass in beiden Formeln (30.I, II) das Glied dritter Zeile [zufolge (29.I, II)] gleich $Q$ ist, und dass ferner [zufolge (28.)] die Summe $\Sigma \Sigma \left[{\mathsf {D}}s_{0}{\mathsf {D}}s_{1}\cdot {\mathsf {P}}\ dr\right]$ gleich $-dQ$ ist, so kann von jenen Formeln (30.I, II) die erstere so dargestellt werden:

(31.I)

$(\Sigma \Sigma \ {\mathfrak {E}}\ {\mathsf {D}}s_{0})dt=d\left(J_{1}Q\right)+J_{1}\cdot \Sigma \Sigma \left[{\mathsf {D}}s_{0}\Delta s_{1}\cdot \Phi \right],$

und die letztere so:

(31.II)

${\begin{array}{ll}(\Sigma \Sigma \ {\mathfrak {E}}\ {\mathsf {D}}s_{0})dt=&d\left(J_{1}Q\right)+J_{1}\cdot \Sigma \Sigma \left[{\mathsf {D}}s_{0}{\mathsf {D}}s_{1}{\frac {\partial }{\partial s_{1}}}\left({\frac {A^{2}\Theta _{0}dr}{r}}\right)\right]\\\\&\qquad +J_{1}\cdot \Sigma \Sigma \left[{\mathsf {D}}s_{0}\Delta s_{1}\left({\frac {-A^{2}\Theta _{0}\Theta _{1}}{r}}\right)\right].\end{array}}$

Von den in (31.II) auf der rechten Seite vorhandenen Summen kann die eine

$(\alpha .)$

${\mathsf {K}}=\Sigma \Sigma \left[{\mathsf {D}}s_{0}{\mathsf {D}}s_{1}{\frac {\partial }{\partial s_{1}}}\left({\frac {A^{2}\Theta _{0}dr}{r}}\right)\right]$

einer weitern Behandlung unterworfen werden. Es ist nämlich

${\frac {A^{2}\Theta _{0}}{r}}={\frac {A^{2}}{r}}{\frac {\partial r}{\partial s_{0}}}={\frac {\partial \left(A^{2}\log r\right)}{\partial s_{0}}},$

und ferner [vergl. (25.)]:

$dr=\left({\frac {\partial r}{\partial \tau _{0}}}+{\frac {\partial r}{\partial \tau _{1}}}\right)dt;$

so dass sich also ergiebt:

$(\beta .)$

${\begin{array}{l}{\mathsf {K}}=dt\cdot \Sigma \Sigma \left[{\mathsf {D}}s_{0}{\mathsf {D}}s_{1}{\frac {\partial }{\partial s_{1}}}\left({\frac {\partial \left(A^{2}\log r\right)}{\partial s_{0}}}{\frac {\partial r}{\partial \tau _{0}}}\right)\right]\\\\\qquad +dt\cdot \Sigma \Sigma \left[{\mathsf {D}}s_{0}{\mathsf {D}}s_{1}{\frac {\partial }{\partial s_{1}}}\left({\frac {\partial \left(A^{2}\log r\right)}{\partial s_{0}}}{\frac {\partial r}{\partial \tau _{1}}}\right)\right].\end{array}}$

Hieraus aber folgt durch Benutzung früherer Formeln [(75.p,q), pag. 64] sofort:

$(\gamma .)$

${\mathsf {K}}=-\Sigma \Sigma \left[{\mathsf {D}}s_{0}\Delta s_{1}\left({\frac {\partial \left(A^{2}\log r\right)}{\partial s_{0}}}{\frac {\partial r}{\partial s_{1}}}\right)\right],$

oder weil ${\tfrac {\partial r}{\partial s_{0}}}=\Theta _{0}$, und ${\tfrac {\partial r}{\partial s_{1}}}=-\Theta _{1}$ ist:

$(\delta .)$

${\mathsf {K}}=\Sigma \Sigma \left[{\mathsf {D}}s_{0}\Delta s_{1}\left({\frac {A^{2}\Theta _{0}\Theta _{1}}{r}}\right)\right].$

Substituirt man aber den Werth $(\delta .)$ für die Summe $(\alpha .)$ in die Formel (31.II), so hebt sich diese Summe fort gegen diejenige in der zweiten Zeile. — Somit können die Formeln (31.I, II) einfacher so geschrieben werden:

(32.I)

$\left(\Sigma \Sigma \ {\mathfrak {E}}\ {\mathsf {D}}s_{0}\right)dt=d\left(J_{1}Q\right)+J_{1}\cdot \Sigma \Sigma \left[{\mathsf {D}}s_{0}\Delta s_{1}\Phi \right],$

(32.II)

$\left(\Sigma \Sigma \ {\mathfrak {E}}\ {\mathsf {D}}s_{0}\right)dt=d\left(J_{1}Q\right).$

Diese Formeln beziehen sich auf ein unendlich kleines Zeitelement $dt$. Leicht aber lassen sich hieraus die entsprechenden Formeln für ein beliebig gegebenes Zeitintervall $t'\dots t''$ ableiten. Bezeichnet man nämlich mit ${\mathfrak {S}}_{t',t''}$ die Summe derjenigen elektromotorischen Kräfte, welche vom Ringe $B$ im Ringe $A$ während dieser Zeit $t'\dots t''$ hervorgebracht werden, so ergeben sich aus (32.I, II) folgende Resultate^[4]:

(33.I)

${\mathfrak {S}}_{t',t''}=\left(J''_{1}Q-J'_{1}Q'\right)+\int \limits _{t'}^{t''}\left(J_{1}\cdot \Sigma \Sigma \ \left[{\mathsf {D}}s_{0}\Delta s_{1}\Phi \right]\right),$

(33.II)

${\mathfrak {S}}_{t',t''}=\left(J''_{1}Q''-J'_{1}Q'\right).$

Die Formeln (32.I, II) sind mit einander und mit dem von meinem Vater aufgestellten Integralgesetz (pag. 107) nur dann in Einklang, wenn die $\Delta s_{1}$ sämmtlich Null sind, und führen also zu folgendem Ergebniss:

(34.).... Soll die Summe derjenigen elektromotorischen Kräfte berechnet werden, welche ein gleichförmiger und gleichförmig anschwellender Stromring $(J_{1},s_{1})$ während der Zeit $dt$ in irgend einem andern Stromringe $(J_{0},s_{0})$ hervorbringt, so wird man auf Grund des Elementargesetzes (24.I) zu dem von meinem Vater aufgestellten Integralgesetz (pag. 107) nur dann gelangen, wenn der inducirende Ring keine Gleitstellen besitzt; während andererseits das Elementargesetz (24.II) immer zu jenem Integralgesetze hinleitet, einerlei ob der inducirende Ring mit Gleitstellen behaftet ist oder nicht^[5].

Sind die beiden Ringe $A$ und $B$ oder $(J_{0},s_{0})$ und $(J_{1},s_{1})$ ihrer räumlichen Lage nach unveränderlich, und erfolgt die Induction lediglich durch ein Anschwellen des Stromes $J_{1}$, so werden die Elementargesetze (24.I) und (24.II), wie aus (34.) folgt, beide zu dem genannten Integralgesetz hinleiten. Doch dürfte es zweckmässig sein, diesen Fall noch besonders zu behandeln. Selbstverständlich soll dabei wiederum vorausgesetzt sein, dass die Stärke $J_{1}$ des inducirenden Stromes gleichförmig ist, und auch während ihres Anschwellens beständig gleichförmig bleibt.

In Folge der gemachten Voraussetzungen ist für jedes Elementenpaar ${\mathsf {D}}s_{0},{\mathsf {D}}s_{1}$ die Entfernung $r$ constant, mithin $dr=0$; so dass also die Gesetze (24.I,II) sich reduciren auf:

(35.I)

${\mathfrak {E}}dt=\left(dJ_{1}\right){\mathsf {D}}s_{1}\Phi ,$

(35.II)

${\mathfrak {E}}dt=\left(dJ_{1}\right){\mathsf {D}}s_{1}\left({\frac {-A^{2}\Theta _{0}\Theta _{1}}{r}}\right).$

Multiplicirt man diese Formeln mit ${\mathsf {D}}s_{0}$, und integrirt sodann über sämmtliche ${\mathsf {D}}s_{0}$ und ${\mathsf {D}}s_{1}$ der beiden Ringe, so folgt sofort:

(36.I)

$\left(\Sigma \Sigma \ {\mathfrak {E}}\ {\mathsf {D}}s_{0}\right)dt=\left(dJ_{1}\right)\cdot \Sigma \Sigma \left[{\mathsf {D}}s_{0}{\mathsf {D}}s_{1}\Phi \right],$

(36.II)

$\left(\Sigma \Sigma \ {\mathfrak {E}}\ {\mathsf {D}}s_{0}\right)dt=\left(dJ_{1}\right)\cdot \Sigma \Sigma \left[{\mathsf {D}}s_{0}{\mathsf {D}}s_{1}\left({\frac {-A^{2}\Theta _{0}\Theta _{1}}{r}}\right)\right];$

diese Formeln aber können mit Rücksicht auf (29.I,II) auch so geschrieben werden:

(37.I)

$\left(\Sigma \Sigma \ {\mathfrak {E}}\ {\mathsf {D}}s_{0}\right)dt=\left(dJ_{1}\right)Q,$

(37.II)

$\left(\Sigma \Sigma \ {\mathfrak {E}}\ {\mathsf {D}}s_{0}\right)dt=\left(dJ_{1}\right)Q,$

wo, in Folge der unveränderlichen Lage der beiden Ringe, $Q$ eine Constante ist.

Bezeichnet man also mit ${\mathfrak {S}}_{t',t''}$ die Summe derjenigen elektromotorischen Kräfte, welche während eines beliebig gegebenen Zeitraumes $t'\dots t''$ von $B$ in $A$ hervorgebracht werden, so erhält man:

(38.I)

${\mathfrak {S}}_{t',t''}=\left(J''_{1}-J'_{1}\right)Q,$

(38.II)

${\mathfrak {S}}_{t',t''}=\left(J''_{1}-J'_{1}\right)Q.$

Da in dem betrachteten Fall $Q$ eine Constante ist, so kann statt $\left(dJ_{1}\right)Q$ auch $d\left(J_{1}Q\right)$ geschrieben werden; so dass also aus den Formeln (37.I,II) folgendes Resultat sich ergiebt:

(39.).... Soll die Summe derjenigen elektromotorischen Kräfte berechnet werden, welche ein gleichförmiger und gleichförmig anschwellender Stromring $\left(J_{1},s_{1}\right)$ während der Zeit $dt$ in irgend einem andern Stromringe $\left(J_{0},s_{0}\right)$ hervorruft, und setzt man voraus, dass beide Ringe ihrer räumlichen Lage nach unveränderlich sind, so wird man zu dem von meinem Vater aufgestellten Integralgesetz (pag. 107) hingelangen, einerlei ob man ausgeht vom Elementargesetz (24.I) oder vom Elementargesetz (24.II).

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1. Wir werden hier nur die elektromotorischen Kräfte elektrodynamischen Ursprungs ins Auge fassen. Eine derartige Einschränkung ist indessen in Wirklichkeit nur eine scheinbare. Denn aus früheren Betrachtungen (pag. 97 bis 99) geht deutlich hervor, dass die Summe der von $B$ in $A$ hervorgebrachten elektromotorischen Kräfte elektrostatischen Ursprungs gleich Null ist.
2. Die der Formel (46.) beigefügte Signatur ${\scriptstyle \left({{\mathsf {D}}s_{1} \atop {\mathsf {D}}s_{0}}\right)}$ hat denselben Zweck, wie bei früherer Gelegenheit (pag. 149).
3. Bei Bildung dieser Summe, d. i. bei Bildung derjenigen Summe von elektromotorischen Kräften, welche der Inducent $\left(J_{1},s_{1}\right)$ während der Zeit $dt$ im Elemente ${\mathsf {D}}s_{0}$ hervorbringt, sind mithin, wenn wir auf die eben ausgeführte Rechnung zurückblicken, sowohl diejenigen Elemente ${\mathsf {D}}s_{1}$ zu berücksichtigen, welche während der ganzen Zeit $dt$ im Inducenten enthalten sind, als auch zweitens diejenigen Elemente $\Delta s_{1}$, welche erst während dieser Zeit in den Inducenten eintreten.
   Die Elemente ${\mathsf {D}}s_{1}$ sind zu berücksichtigen insofern, als ihre relative Lage gegen ${\mathsf {D}}s_{0}$ während der Zeit $dt$ sich ändert, und auch insofern, als in ihnen während dieser Zeit die Stromstärke anwächst von $J_{1}$ auf $J_{1}+dJ_{1}$. Sie liefern zu der in Rede stehenden Summe die in $(\alpha .)$ angegebenen Beiträge.
   Andererseits sind die Elemente $\Delta s_{1}$ insofern zu berücksichtigen, als in ihnen die Stromstärke einen plötzlichen endlichen Zuwachs von 0 auf $J_{1}$ erfährt. Sie liefern zu jener Summe die in $(\gamma .)$ genannten Beiträge.
   Mein Vater hat in seiner Abhandlung [Ueber ein allgemeines Princip etc. vom 9. August, 1847; vergl. daselbst namentlich die Formeln (9.), (10.), (11.) des §. 4.] den elektromotorischen Einfluss, welchen die Elemente $\Delta s_{1}$, in Folge der eben genannten plötzlichen Stromänderung, ausüben, unberücksichtigt gelassen, mithin die Beiträge $(\gamma .)$ als verschwindend klein betrachtet. Eine Vernachlässigung derselben scheint mir aber nicht erlaubt zu sein, nämlich in Widerspruch zu stehen mit den für diese Beiträge $(\gamma .)$ gefundenen Werthen.
   Uebrigens lassen sich die Resultate, zu denen eine solche Vernachlässigung hinleitet, leicht verfolgen. Man hat zu diesem Zweck in den erhaltenen Formeln z. B. in $(\delta .)$, ebenso später in (30.I) (31.I), (32.I), u.s. w. nur diejenigen Glieder zu streichen, welche mit den $\Delta s_{1}$ behaftet sind.
4. Wollte man die in der Note pag. 225 genannte Vernachlässigung eintreten lassen, so würden die Consequenzen des Gesetzes (24.I) nicht mehr durch die Formeln (32.I) und (33.I), sondern vielmehr durch diejenigen Formeln dargestellt sein, in welche (32.I) und (33.I) sich verwandeln bei Streichung der mit $\Delta s_{1}$ behafteten Glieder.
5. Dieses Ergebniss ist übrigens, soweit dasselbe auf das Elementargesetz (24.II) sich bezieht, kein wesentlich neues, vielmehr anzusehen als die blosse Wiederholung eines schon früher notirten Satzes (pag. 195).