Die elektrischen Kräfte/Zusammenstellung:§29

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§. 29. Fortsetzung. Ueber eine gewisse Erweiterung des von F. Neumann aufgestellten Integralgesetzes.

Der lineare Leiter $A$ sei in sich zurücklaufend, ein homogener Drahtring; ausserdem mag die Voraussetzung zulässig sein, dass der in dem körperlichen Leiter $B$ vorhandene elektrische Strömungszustand im Innern überall gleichförmig und an der Oberfläche überall tangential ist. Beide Körper $A$ und $B$ seien begriffen in irgend welchen Bewegungen; es soll die Summe

(16.)

$dt\cdot \Sigma \Sigma \ \left({\mathfrak {E}}_{0}^{1}{\mathsf {D}}s_{0}\right)$

derjenigen elektromotorischen Kräfte eldy. Us berechnet werden, welche während eines gegebenen Zeitelementes $dt$ vom Körper $B$ im Drahtringe $A$ hervorgebracht werden. Die Summation $\Sigma \Sigma$ in (16.) ist also hinerstreckt zu denken über alle Elemente ${\mathsf {D}}s_{0}$ von $A$, und über alle Volumelemente ${\mathsf {Dv}}_{1}$ von $B$.

Substituirt man für ${\mathfrak {E}}_{0}^{1}dt$ den Werth [15.], so folgt:

(17.)

${\begin{array}{ll}dt\cdot \ \Sigma \Sigma \ \left({\mathfrak {E}}_{0}^{1}{\mathsf {D}}s_{0}\right)=&{\frac {\delta \ \Sigma \Sigma \ \left({\mathsf {D}}s_{0}\cdot i_{1}{\mathsf {Dv}}_{1}\cdot \Omega \right)-\Sigma \Sigma \ \left({\mathsf {D}}s_{0}\cdot i_{1}{\mathsf {Dv}}_{1}\cdot {\mathsf {P}}\delta r\right)+\Sigma \Sigma \ M}{2}}\\\\&+\Delta \ \Sigma \Sigma \ \left({\mathsf {D}}s_{0}\cdot i_{1}{\mathsf {Dv}}_{1}\cdot \Omega \right),\end{array}}$

wo $M$ zur Abkürzung steht für:

(18.)

$M={\mathsf {D}}s_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}\cdot \sigma \left[\Theta _{0}\delta \left(i_{1}\Theta _{1}\right)-\left(i_{1}\Theta _{1}\right)\delta \Theta _{0}\right].$

Um den Ausdruck (17.) weiter zu behandeln, bedienen wir uns früher gefundener Sätze.

Wird fingirter Weise im Ringe $A$ ein gleichförmiger Strom von irgend welcher Stärke $J_{0}$ angenommen, und bezeichnet man, solches vorausgesetzt, das elektrodynamische Potential zwischen $A$ und $B$ mit $P$, so gilt [vergl. (33.), pag. 165] die Relation:

$-\delta _{0}P=\Sigma \Sigma \ \left(J_{0}{\mathsf {D}}s_{0}\cdot i_{1}{\mathsf {Dv}}_{1}\cdot {\mathsf {P}}\delta _{0}r\right),$

und selbstverständlich auch die analoge Relation;

$-\delta _{1}P=\Sigma \Sigma \ \left(J_{0}{\mathsf {D}}s_{0}\cdot i_{1}{\mathsf {Dv}}_{1}\cdot {\mathsf {P}}\delta _{1}r\right);$

woraus durch Addition folgt:

(19.)

$-\delta P=\Sigma \Sigma \ \left(J_{0}{\mathsf {D}}s_{0}\cdot i_{1}{\mathsf {Dv}}_{1}\cdot {\mathsf {P}}\delta r\right).$

Ferner ist alsdann [vergl. (35.c), pag. 166] $P$ selber dargestellt durch das Integral:

(20.)

$P=\Sigma \Sigma \ \left(J_{0}{\mathsf {D}}s_{0}\cdot i_{1}{\mathsf {Dv}}_{1}\cdot \Omega \right).$

Versteht man unter $P^{*}$ denjenigen speciellen Werth, welchen das Potential $P$ annimmt, wenn jene in $A$ fingirte Stromstärke $J_{0}$ identisch mit Eins gedacht wird, so ergeben sich aus (19.), (20.) die Relationen:

(21.)

$P^{*}=\Sigma \Sigma \ \left({\mathsf {D}}s_{0}\cdot i_{1}{\mathsf {Dv}}_{1}\cdot \Omega \right)$

(22.)

$-\delta P^{*}=\Sigma \Sigma \ \left({\mathsf {D}}s_{0}\cdot i_{1}{\mathsf {Dv}}_{1}\cdot {\mathsf {P}}\delta r\right).$

Durch Anwendung dieser Relationen (21.), (22.) gewinnt die Formel (17.) die einfachere Gestalt:

(23.)

$-dt\cdot \Sigma \Sigma \ \left({\mathfrak {E}}_{0}^{1}{\mathsf {D}}s_{0}\right)={\frac {\delta P^{*}+\delta P^{*}+\Sigma \Sigma \ M}{2}}+\Delta P^{*};$

und hiefür kann geschrieben werden:

(24.)

$dt\cdot \Sigma \Sigma \ \left({\mathfrak {E}}_{0}^{1}{\mathsf {D}}s_{0}\right)=dP^{*}+{\frac {1}{2}}\cdot \Sigma \Sigma \ M,$

wo $dP^{*}=\delta P^{*}+\Delta P^{*}$ den vollständigen Zuwachs von $P^{*}$ während der Zeit $dt$ vorstellt.

Es bleibt noch übrig die Untersuchung von $\Sigma \Sigma \ M$. — Nach (10.) ist:

(25.)

$\Theta _{0}=\cos \left(r,{\mathsf {D}}s_{0}\right)={\frac {\partial r}{\partial s_{0}}},$

(26.)

$\Theta _{1}=\cos \left(r,i_{1}\right)=-{\frac {\partial r}{\partial s_{1}}};$

denn die Richtung $r$ sollte gerechnet sein von ${\mathsf {Dv}}_{1}$ nach ${\mathsf {D}}s_{0}$, und andererseits soll $s_{1}$ die Richtung der augenblicklich in ${\mathsf {Dv}}_{1}$ vorhandenen elektrischen Strömung $i_{1}$ bezeichnen. Sind ${\mathfrak {x}}_{1},{\mathfrak {y}}_{1},{\mathfrak {z}}_{1}$ die Coordinaten von ${\mathsf {Dv}}_{1}$ in Bezug auf das mit der ponderablen Masse von ${\mathsf {Dv}}_{1}$ starr verbundene Axensystem $\xi ,\eta ,\zeta$, und sind ferner (ebenso wie im vorhergehenden §.) ${\mathfrak {u}}_{1},{\mathfrak {v}}_{1},{\mathfrak {w}}_{1}$ die Componenten der in ${\mathsf {Dv}}_{1}$ vorhandenen elektrischen Strömung $i_{1}$, ebenfalls in Bezug auf jenes Axensystem $\xi ,\eta ,\zeta$; so ist

(27.)

${\frac {\partial }{\partial s_{1}}}={\frac {{\mathfrak {u}}_{1}}{i_{1}}}{\frac {\partial }{\partial {\mathfrak {x}}_{1}}}+{\frac {{\mathfrak {v}}_{1}}{i_{1}}}{\frac {\partial }{\partial {\mathfrak {y}}_{1}}}+{\frac {{\mathfrak {w}}_{1}}{i_{1}}}{\frac {\partial }{\partial {\mathfrak {z}}_{1}}};$

(vergl. pag. 159). Somit folgt aus (26.)

(28.)

$i_{1}\Theta _{1}=-\left({\mathfrak {u}}_{1}{\frac {\partial r}{\partial {\mathfrak {x}}_{1}}}+{\mathfrak {v}}_{1}{\frac {\partial r}{\partial {\mathfrak {y}}_{1}}}+{\mathfrak {w}}_{1}{\frac {\partial r}{\partial {\mathfrak {z}}_{1}}}\right)$

wofür zur Abkürzung (ebenso wie früher, pag. 161) geschrieben werden mag:

(29.)

$i_{1}\Theta _{1}=-{\mathfrak {S}}_{1}\left({\mathfrak {u}}_{1}{\frac {\partial r}{\partial {\mathfrak {x}}_{1}}}\right).$

Durch (25.), (29.) gewinnt der Ausdruck $M$ (18.) die Gestalt:

$M={\mathsf {D}}s_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}\cdot {\mathfrak {S}}_{1}\left[-\sigma {\frac {\partial r}{\partial s_{0}}}\delta \left({\mathfrak {u}}_{1}{\frac {\partial r}{\partial {\mathfrak {x}}_{1}}}\right)+\sigma \left({\mathfrak {u}}_{1}{\frac {\partial r}{\partial {\mathfrak {x}}_{1}}}\right)\delta \left({\frac {\partial r}{\partial s_{0}}}\right)\right].$

Hiefür kann geschrieben werden:

$M={\mathsf {D}}s_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}\cdot {\mathfrak {S}}_{1}\left[-\sigma {\frac {\partial r}{\partial s_{0}}}{\mathfrak {u}}_{1}{\frac {\partial r}{\partial {\mathfrak {x}}_{1}}}+\sigma {\mathfrak {u}}_{1}{\frac {\partial r}{\partial {\mathfrak {x}}_{1}}}{\frac {\partial \delta r}{\partial s_{0}}}\right],$

oder, wenn $\int \sigma \ dr=\lambda$, mithin $\sigma ={\frac {d\lambda }{dr}}$ gesetzt wird:

$M={\mathsf {D}}s_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}{\mathfrak {S}}_{1}\left[{\mathfrak {u}}_{1}\left(-{\frac {\partial \lambda }{\partial s_{0}}}{\frac {\partial \delta r}{\partial {\mathfrak {x}}_{1}}}+{\frac {\partial \lambda }{\partial {\mathfrak {x}}_{1}}}{\frac {\partial \delta r}{\partial s_{0}}}\right)\right],$

oder was dasselbe ist:

$M={\mathsf {D}}s_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}{\mathfrak {S}}_{1}\left[{\mathfrak {u}}_{1}\left(-{\frac {\partial }{\partial {\mathfrak {x}}_{1}}}\left({\frac {\partial \lambda }{\partial s_{0}}}\delta r\right)+{\frac {\partial }{\partial s_{0}}}\left({\frac {\partial \lambda }{\partial {\mathfrak {x}}_{1}}}\delta r\right)\right)\right].$

Hieraus folgt durch Integration über sämmtliche Elemente ${\mathsf {D}}s_{0}$ des gegebenen Ringes $A$:

$\Sigma \ M=-\Sigma \ {\mathsf {D}}s_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}{\mathfrak {S}}_{1}\left[{\mathfrak {u}}_{1}{\frac {\partial }{\partial {\mathfrak {x}}_{1}}}\left({\frac {\partial \lambda }{\partial s_{0}}}\delta r\right)\right]$

Integrirt man nochmals, und zwar über alle Elemente ${\mathsf {Dv}}_{1}$ des Körpers $B$, und setzt man zugleich zur Abkürzung ${\frac {\partial \lambda }{\partial s_{0}}}\delta r=\mu$, so folgt^[1]:

(30.)

${\begin{array}{ll}\Sigma \Sigma \ M&=-\Sigma \Sigma \ {\mathsf {D}}s_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}{\mathfrak {S}}_{1}\left({\mathfrak {u}}_{1}{\frac {\partial \mu }{\partial {\mathfrak {x}}_{1}}}\right),\\\\&=-\Sigma \Sigma \ {\mathsf {D}}s_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}\left({\mathfrak {u}}_{1}{\frac {\partial \mu }{\partial {\mathfrak {x}}_{1}}}+{\mathfrak {v}}_{1}{\frac {\partial \mu }{\partial {\mathfrak {y}}_{1}}}+{\mathfrak {w}}_{1}{\frac {\partial \mu }{\partial {\mathfrak {z}}_{1}}}\right).\end{array}}$

Nun ergiebt sich aber nach bekannter Methode:

(31.)

${\begin{array}{ll}\Sigma \ {\mathsf {Dv}}_{1}\left({\mathfrak {u}}_{1}{\frac {\partial \mu }{\partial {\mathfrak {x}}_{1}}}+\cdots \right)&=\Sigma \ {\mathsf {Dv}}_{1}\left({\frac {\partial \left({\mathfrak {u}}_{1}\mu \right)}{\partial {\mathfrak {x}}_{1}}}+\cdots \right)-\Sigma \ {\mathsf {Dv}}_{1}\mu \left({\frac {\partial {\mathfrak {u}}_{1}}{\partial {\mathfrak {x}}_{1}}}+\cdots \right),\\\\&=-\Sigma \ {\mathsf {D}}o_{1}\mu \left[{\mathfrak {u}}_{1}\cos \left(N_{1},\ \xi \right)+\cdots \right]-\Sigma \ {\mathsf {Dv}}_{1}\mu \left({\frac {\partial {\mathfrak {u}}_{1}}{\partial {\mathfrak {x}}_{1}}}+\cdots \right),\\\\&=-\Sigma \ {\mathsf {D}}o_{1}\mu \ F_{1}+\Sigma \ {\mathsf {Dv}}_{1}\mu \ E_{1}\\&=0;\end{array}}$

denn die Ausdrücke $E_{1},F_{1}$ (vergl. pag. 164) verschwinden, weil der Strömungszustand im Innern des Körpers $B$ als gleichförmig, und an seiner Oberfläche als tangential vorausgesetzt war.

Nachdem aber constatirt, dass das Integral (31.) Null ist, ergiebt sich nun aus (30.) sofort:

(32.)

$\Sigma \Sigma \ M=0.$

Somit folgt aus (24.):

(33.)

$dt\cdot \Sigma \Sigma \ \left({\mathfrak {E}}_{0}^{1}{\mathsf {D}}s_{0}\right)=dP^{*},$

oder in Worten ausgedrückt:

(34.).... Kann der in irgend einem Körper $B$ vorhandene elektrische Strömungszustand im Innern als gleichförmig, und an allen Stellen der Oberfläche als tangential angesehen werden, und bezeichnet $P^{*}\,$ das elektrodynamische Potential zwischen $B$ und einem gegebenen Drahtringe $A$, letzterer durchflossen gedacht von einem fingirten Strome von der Stärke Eins, so wird, in welchen Bewegungen $B$ und $A$ auch begriffen sein mögen, die Summe der von $B$ in $A$ während der Zeit $dt$ hervorgebrachten elektromotorischen Kräfte eldy. Us immer gleich sein dem vollständigen Zuwachs des Potentiales $P^{*}\,$ während der Zeit $dt$.

Der Körper $B$ kann dabei von beliebig complicirter Gestalt gedacht werden, z. B. dargestellt sein durch ein beliebig vielfach geschlossenes Drahtsystem, in welches eingeschaltet sind irgend welche Körper von zwei oder drei Dimensionen. Man bemerkt sofort, dass dieser Satz (34.) nichts Anderes ist als eine gewisse Erweiterung des von meinem Vater für lineare Leiter aufgestellten Integralgesetzes [(33.) pag. 107].

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1. Es ist $\delta r=\left({\frac {\partial r}{\partial \tau _{0}}}+{\frac {\partial r}{\partial \tau _{1}}}\right)dt$; so dass also das neu eingeführte $\mu$ sich so darstellen lässt:
   $\mu ={\frac {\partial \lambda }{\partial s_{0}}}\left({\frac {\partial r}{\partial \tau _{0}}}+{\frac {\partial r}{\partial \tau _{1}}}\right)dt$

   Nun ist $r$ eine Function, welche in letzter Instanz abhängt von den sechs einander coordinirten Argumenten $s_{0},\tau _{0},{\mathfrak {x}}_{1},{\mathfrak {y}}_{1},{\mathfrak {z}}_{1},\tau _{1}$; wie solches hervorgeht aus dem dem gegenwärtigen Fall entsprechenden Schema:

   $r{\begin{array}{lll}\diagup \left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)&{\frac {\qquad }{}}&\left(s_{0},\tau _{0}\right),\\\\\diagdown \left(x_{1},y_{1},z_{1}\right)&{\frac {\qquad }{}}&\left({\mathfrak {x}}_{1},{\mathfrak {y}}_{1},{\mathfrak {z}}_{1},\tau _{1}\right)\end{array}}$

   vergl. (3.c), pag. 159. — Folglich wird jenes neu eingeführte $\mu$ eine Function sein, welche, abgesehen von dem gegebenen Factor $dt$, in letzter Instanz ebenfalls abhängt von jenen sechs coordinirten Argumenten $s_{0},\tau _{0},{\mathfrak {x}}_{1},{\mathfrak {y}}_{1},{\mathfrak {z}}_{1},\tau _{1}$. — Solches zu bemerken, dürfte für die weiter folgende Rechnung nicht überflüssig sein.