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Ueber die gegenseitige elektromotorische Einwirkung zwischen zwei körperlichen Leitern,welche durchflossen sind von elektrischen Strömen.
Das Elementargesetz der elektromotorischen Kräfte, dessen Entwickelung im vierten Abschnitt von Stufe zu Stufe vorgeschritten war, wird endlich durch die Betrachtungen des gegenwärtigen Abschnittes seine definitive Gestaltung (und zugleich einen bemerkenswerthen Grad von Einfachheit) erlangen.
§. 28. Die elektromotorische Wirkung eldy. Ursprungs eines Körpers von beliebiger Gestalt auf einen linearen Körper.
Wir sind gezwungen in diesem Fall zu den schön früher eingeführten Hypothesen (pag. 112) eine weitere Hypothese hinzutreten zu lassen, welche jenen allerdings in hohem Grade ähnlich ist, dennoch aber, falls man strenge verfahren will, einer besondern Nennung bedarf. Denken wir uns irgend zwei Körper
und
gegeben, von beliebiger Gestalt und Grösse, die in irgend welchen Bewegungen begriffen sind, während gleichzeitig im Innern eines jeden irgend welche elektrische Vorgänge stattfinden und betrachten wir
als den inducirten,
als den inducirenden Körper, so lautet jene Hypothese folgendermassen:
(1.).... Fünfte Hypothese. Ist
irgend ein Volumelement des Körpers
, und wird die in
vorhandene elektrische Strömung in Componenten zerlegt gedacht nach drei aufeinander senkrechten, mit der ponderablen Masse von
starr verbundenen Axen, so soll angenommen werden, dass die elektromotorische Wirkung jener in
vorhandenen Strömung immer identisch ist mit der elektro-motorischen Gesammtwirkung der genannten drei Componenten.
| Wir beschränken uns vorläufig auf den speciellen Fall, dass der inducirte Körper
linear (also drahtförmig) ist, und führen folgende Benennungen ein:
irgend ein Element des Drahtes
;
drei mit der ponderablen Masse des Körpers
starr verbundene, auf einander senkrechte Axen;
die in dem Volumelement
des Körpers
vorhandene elektrische Strömung;
die rechtwinkligen Componenten von
nach jenen Axen
.
Das Volumelement
, bald von der wirklich vorhandenen Strömung
, bald von
, bald von
, bald von
durchflossen gedacht, mag, diesen verschiedenen Vorstellungen entsprechend, bezeichnet sein respective mit[1]
(2.)
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Ferner seien:
(3.)
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diejenigen elektromotorischen Kräfte eldy. Us, welche von diesen vier Stromelementen (jedes für sich allein genommen) während der Zeit
im Elemente
, und zwar in der Richtung von
, hervorgebracht werden würden. Zufolge der so eben hingestellten Hypothese wird alsdann die Relation stattfinden:
(4.)
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Um zunächst die Kraft
![{\displaystyle {\mathfrak {A}}_{0}^{1}dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d873ad1e3a61b8cd8edfe67cc91049dba7d7a58b)
näher zu bestimmen, zerlegen wir das Volumelement
![{\displaystyle {\mathsf {Dv}}_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea8b809b670a6519e910788ed9e0ca3f61870c1e)
in Elemente zweiter Ordnung, und zwar in lauter Prismata
![{\displaystyle q_{1}{\mathsf {D}}\xi _{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56688c8972144f31678df75807006250b27732c9)
, parallel zur Achse
![{\displaystyle \xi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0b461aaf61091abd5d2c808931c48b8ff9647db)
; wo
![{\displaystyle q_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9daa41f6e8f78ea6bb5711d7ac97901ce564b94e)
den Querschnitt und
![{\displaystyle {\mathsf {D}}\xi _{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79c468301fb677113b7c6da2737af2362247b846)
, die Länge eines solchen Prismas vorstellen sollen. Hiedurch
| zerfällt alsdann das
Stromelement
![{\displaystyle {\mathfrak {u}}_{1}{\mathsf {Dv}}_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a58cb1e8bda51d037c52bf02794581f76e3a9856)
in die prismatischen
Stromelemente
![{\displaystyle {\mathfrak {u}}_{1}q_{1}{\mathsf {D}}\xi _{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1ddc5973a03d054c8d28621e249288ac901d56a)
. Diese letztern aber unterscheiden sich (weil die Strömung
![{\displaystyle {\mathfrak {u}}_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b00fdddac832d1918a3963ff4ac42cc7f2a65859)
den geometrischen Axen der Prismata fortdauernd parallel ist) in keinerlei Weise von denjenigen Stromelementen
![{\displaystyle J_{1}{\mathsf {D}}s_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38a41beec05014f501bcbf739bcece019b105640)
, welche wir früher bei
linearen Leitern zu betrachten Gelegenheit gehabt haben. Nur die Bezeichnung ist eine etwas andere;
![{\displaystyle {\mathfrak {u}}_{1}q_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d89e854b487c51be0b7b356f89533382c3848dd0)
ist an Stelle von
![{\displaystyle J_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/260ffe7da7c858cf114ad89a6c794944ea4e760f)
, und
![{\displaystyle {\mathsf {D}}\xi _{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79c468301fb677113b7c6da2737af2362247b846)
an Stelle von
![{\displaystyle {\mathsf {D}}s_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c7dc6f285e3c793f96a24bfd171c40dd9f4c115)
getreten.
Die von dem prismatischen Stromelement
während der Zeit
in dem gegebenen Drahtelemente
, und zwar in der Richtung dieses Elementes, hervorgebrachte elektromotorische Kraft eldy. Us kann daher augenblicklich angegeben werden mit Hülfe des früher (pag. 133) von uns entwickelten Gesetzes, und wird also folgenden Werth haben:
(5.)
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wo die Charakteristik
die der Zeit
entsprechenden Veränderungen andeutet, und
zur Abkürzung stehen für die Ausdrücke:
(6.)
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Dabei ist unter
die Entfernung zu verstehen, und die Richtung
fortlaufend zu denken von
nach
, d. i. von
nach
.
Summirt man die Kraft (5.) über all’ jene das Volumen
erfüllenden Prismata
, so erhält man die zu berechnende Kraft
. Das Volumen
ist aber unendlich klein; und es haben daher
, ebenso
für all’ jene Prismata einerlei Werthe. Somit erhält man:
(7.)
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oder weil
ist:
(8.)
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Analoge Werthe ergeben sich offenbar für
und
; und durch Substitution dieser Werthe in (4.) folgt:
(9.)
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| wo die Bedeutungen von
![{\displaystyle \Theta ^{\xi },\Omega ^{\xi },{\mathsf {P}}^{\xi }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/416e0c11de61832d8debed666cc091362ca37db9)
und ebenso diejenigen von
![{\displaystyle \Theta ^{\eta },\Omega ^{\eta },{\mathsf {P}}^{\eta }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53238600c770a93dbfcf5206567a20208a8fcdba)
und
![{\displaystyle \Theta ^{\zeta },\Omega ^{\zeta },{\mathsf {P}}^{\zeta }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e827bc3cf3ed70f41e8fb982feb61bd63fd32a6)
ersichtlich sind aus (6.).
Um den Ausdruck (9.) einfacher zu gestalten, greifen wir zurück zu unsern gewöhnlichen Bezeichnungen:
(10.)
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wo also unter
dieselben Cosinus zu verstehen sind, wie im Ampère’schen Gesetz (pag. 44). Diese Ausdrücke (10.) stehen in einfacher Beziehung zu denen in (6.). Denn es folgt z. B. aus (10.):
![{\displaystyle \Theta _{1}=\cos(r,\xi )\cos(i_{1},\xi )+\cos(r,\eta )\cos(i_{1},\eta )+\cos(r,\zeta )\cos(i_{1},\zeta ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec40144a6ae87229e5c4cfc35c1139ab54fe3694)
und hieraus durch Multiplication mit
:
![{\displaystyle i_{1}\Theta _{1}={\mathfrak {u}}_{1}\cos(r,\xi )+{\mathfrak {v}}_{1}\cos(r,\eta )+{\mathfrak {w}}_{1}\cos(r,\zeta ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/897ddf04e1bf2be04461921b9f42d00dd022bef3)
also mit Rücksicht auf (6.):
(11.)
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Bedienen wir uns nun der schon früher [(3.a,b,c,d) auf pag. 158, 159] eingeführten Charakteristiken:
(12.)
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so werden die Grössen
![{\displaystyle \Theta ^{\xi },\Theta ^{\eta },{\mathsf {\Theta }}^{\zeta },\quad \Omega ^{\xi },\Omega ^{\eta },{\mathsf {\Omega }}^{\zeta },\quad {\mathsf {P}}^{\xi },{\mathsf {P}}^{\eta },{\mathsf {\mathsf {P}}}^{\zeta }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26c712f701fb4f8ffe234edc0b45bf9080904895)
deren Werthe (6.) lediglich bedingt sind durch Lage und Bewegung der ponderablen Massen, nur von
abhängen; während andererseits die Grössen
![{\displaystyle {\mathfrak {u}}_{1},{\mathfrak {v}}_{1},{\mathfrak {w}}_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/217970353ae79ce9f79f6faedcfd1f8b3b64c484)
nur von
abhängig sind. Somit folgt aus (11.):
(13.)
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und ferner:
(14.)
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Mit Rücksicht auf (11.), (13.), (14.) gewinnt nunmehr die Formel (9.) die einfachere Gestalt:
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(15.)
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Die vom Stromelemente
während der Zeit
im Drahtelement
, und zwar in der Richtung von
hervorgebrachte elektromotorische Kraft eldy. Us
besitzt also den hier, in (15.), angegebenen Werth, wo
, und
die in (10.) genannten Bedeutungen haben.
- ↑ Die in
wirklich vorhandene Strömung
wird offenbar im Allgemeinen während der Zeit
sowohl ihrer Stärke als ihrer Richtung nach sich ändern, so dass also unter
ein Element zu verstehen ist, in welchem die Strömungsstärke, und ebenso auch die Strömungsrichtung während der Zeit
von Augenblick zu Augenblick wechselt. Von wesentlich anderm Charakter sind die Stromelemente
; denn die in
vorhandene Strömung
, bleibt (ihrer Definition zufolge) fortdauernd parallel zur Aze
, also parallel zu einer mit der ponderablen Masse von
starr verbundenen Linie; ähnlich verhält es sich mit
und
.
Wollte man auf den speciellen Fall sich beschränken, dass die Richtung von
mit Bezug auf die ponderable Masse von
(d.i. mit Bezug auf das Axensystem
) während der Zeit
constant bleibt, so würde die frühere Hypothese [(3.), pag. 112] ausreichend sein. Im Allgemeinen aber wird eine solche Constanz nicht stattfinden; und dann bedarf es der hier angegebenen umfassenderen Hypothese [(1.), pag. 169].