Die elektrischen Kräfte/Zusammenstellung:§27

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§. 27. Fortsetzung. Betrachtung des speciellen Falles, dass die in jedem Körper vorhandenen Strömungen im Innern gleichförmig und an der Oberfläche tangential sind.

Der elektrische Strömungszustand im Innern eines Körpers wird gleichförmig zu nennen sein, falls überall die Bedingung erfüllt ist:

(31.)

${\frac {\partial {\mathfrak {u}}}{\partial {\mathfrak {x}}}}+{\frac {\partial {\mathfrak {v}}}{\partial {\mathfrak {y}}}}+{\frac {\partial {\mathfrak {w}}}{\partial {\mathfrak {z}}}}=0;$

denn alsdann ist [vergl. (9.a,b) pag. 4] der Differentialquotient ${\tfrac {d\epsilon }{dt}}$ überall Null, folglich die Vertheilung der im Körper vorhandenen freien Elektricität unabhängig von der Zeit. — Andererseits wird der elektrische Strömungszustand an der Oberfläche des Körpers als tangential zu bezeichnen sein, falls überall die Gleichung erfüllt ist:

(32.)

${\mathfrak {u}}\cos \left(N,{\mathfrak {x}}\right)+{\mathfrak {v}}\cos \left(N,{\mathfrak {y}}\right)+{\mathfrak {w}}\cos \left(N,{\mathfrak {z}}\right)=0,$

unter $N$ die Normale jener Oberfläche verstanden.

Setzen wir nun voraus, in jedem der hier betrachteten Körper $A$ und $B$ wäre der Zustand im Innern überall gleichförmig, und überall tangential an der Oberfläche, so verschwinden die Ausdrücke $E_{0},E_{1}$ und $F_{0},F_{1}$; so dass also in diesem Fall die Formel (30.a,b,c) die einfachere Gestalt gewinnt:

(33.)

$\left\{{\begin{array}{l}{\begin{array}{ll}\left(dT_{A}^{B}\right)_{\mathrm {eldy.\ Us} }&=\Sigma \Sigma \ \left(i_{0}{\mathsf {Dv}}_{0}\cdot i_{1}{\mathsf {Dv}}_{1}\cdot {\mathsf {P}}\delta _{0}r\right),\\&=-\delta _{0}P,\end{array}}\\\mathrm {wo\ P\ die\ Bedeutung\ hat} :\\\qquad P=4A^{2}\cdot \Sigma \Sigma \ \left({\frac {\partial \psi }{\partial s_{0}}}i_{0}{\mathsf {Dv}}_{0}\cdot {\frac {\partial \psi }{\partial s_{1}}}i_{1}{\mathsf {Dv}}_{1}\right).\end{array}}\right.$

Dieses $P$ ist vollständig analog mit demjenigen Ausdruck

$P=4A^{2}\cdot \Sigma \Sigma \ \left({\frac {\partial \psi }{\partial s_{0}}}J_{0}{\mathsf {D}}s_{0}\cdot {\frac {\partial \psi }{\partial s_{1}}}J_{1}{\mathsf {D}}s_{1}\right),$

durch welchen früher, ebenfalls unter Voraussetzung eines gleichförmigen Zustandes, das elektrodynamische Potential zweier linearer Stromringe auf einander definirt wurde [vergl. (55.a,b,c) pag. 56]. Bedienen wir uns hier desselben Namens, so wird das in (33.) enthaltene Resultat so auszusprechen sein:

(34.)... . Können die elektrischen Strömungszustände in zwei Körpern $A$ und $B$ (die in irgend welchen Bewegungen begriffen sind) im Innern als gleichförmig und an allen Stellen der Oberflächen als tangential angesehen werden, und bezeichnet $P$ das elektrodynamische Potential der beiden Körper auf einander, so wird die von $B$ während der Zeit $dt$ auf $A$ ausgeübte ponderomotorische Arbeit eldy. Us, abgesehen vom Vorzeichen, immer gleich sein dem partiellen^[1] Zuwachs von $P$, genommen nach der räumlichen Lage von $A$.

Hiebei kann jeder der Körper $A$, $B$ von beliebig complicirter Gestalt sein. So kann z. B. ein solcher Körper dargestellt sein durch ein beliebig vielfach geschlossenes Drahtsystem, in welches eingeschaltet sind irgend welche Leiter von zwei oder drei Dimensionen.

Besteht der Körper $A$ aus einer Metallkugel $A'$, in welche an zwei gegebenen Stellen der Oberfläche die beiden Enden eines Metalldrahtes $A''$ einmünden, und setzt man voraus, dass die beiden Bedingungen der Gleichförmigkeit und Tangentialitat erfüllt sind beim Körper $A$, d.i. bei $A',A''$ zusammengenommen, so wird trotzdem die letztere von diesen beiden Bedingungen im Allgemeinen nicht erfüllt sein für die Kugel $A'$ allein genommen; so dass also der vorstehende Satz (34.), wenn auch anwendbar auf $A,B,$ nicht mehr gültig ist für $A',B$. Anders verhält es sich mit dem allgemeinern Satz (30.a,b,c); denn dieser ist anwendbar nach Belieben sowohl auf $A,B,$ als auch auf $A',B$.

Man bemerkt übrigens sofort, dass der Satz (34.) einen früher besprochenen Satz [(52.a,b,c,d) auf pag. 53] als speciellen Fall in sich schliesst.

Was die für das elektrodynamische Potential $P$ gegebene Definition (33.) betrifft, so können wir uns darüber folgendermassen ausdrücken:

Das elektrodynamische Potential $P$ zweier Körper aufeinander wird, falls in jedem derselben der elektrische Strömungszustand im Innern gleichförmig und an der Oberfläche tangential ist, definirt sein durch:

(35.a)

$P=\Sigma \Sigma \ \left[i_{0}{\mathsf {Dv}}_{0}\cdot i_{1}{\mathsf {Dv}}_{1}\cdot \Pi \right],$

oder auch durch:

(35.b)

$P=\Sigma \Sigma \ \left[i_{0}{\mathsf {Dv}}_{0}\cdot i_{1}{\mathsf {Dv}}_{1}\left(\Pi +{\frac {\partial ^{2}w(r)}{\partial s_{0}\partial s_{1}}}\right)\right],$

oder auch durch:

(35.c)

$P=\Sigma \Sigma \ \left[i_{0}{\mathsf {Dv}}_{0}\cdot i_{1}{\mathsf {Dv}}_{1}\cdot \Omega \right],$

wo $w(r)$ eine willkührliche Function von $r$ vorstellt, während $\Pi ,\Omega$ die bekannten Ausdrücke^[2] repräsentiren:

(35.d)

${\begin{array}{l}\Pi =4A^{2}{\frac {\partial \psi }{\partial s_{0}}}{\frac {\partial \psi }{\partial s_{1}}}=-4A^{2}\left({\frac {d\psi }{dr}}\right)^{2}\Theta _{0}\Theta _{1},\\\\\Omega =\omega \Theta _{0}\Theta _{1}+{\overset {II}{\omega }}{\mathsf {E}}.\end{array}}$

Dabei sind unter $r,\psi ,\Theta _{0},\Theta _{1},{\mathsf {E}}$ dieselben^[3] Ausdrücke zu verstehen, wie im Ampère’schen Gesetz (pag. 44).

Die Formel (35.a) ist [unter Rücksicht auf (35.d)] identisch mit der ursprünglichen Definition (33.).

Um den Uebergang von (35.a) zu (35.b) zu rechtfertigen, bleibt nachzuweisen, dass das Integral

(36.)

$W=\Sigma \Sigma \ \left[i_{0}{\mathsf {Dv}}_{0}\cdot i_{1}{\mathsf {Dv}}_{1}\cdot {\frac {\partial ^{2}w}{\partial s_{0}\partial s_{1}}}\right]$

verschwindet, wie beschaffen die Function $w=w(r)$ auch sein mag. Nun ist [vergl. (12.c)]:

$i_{0}i_{1}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial s_{0}\partial s_{1}}}={\mathfrak {S}}_{0}{\mathfrak {S}}_{1}\left({\mathfrak {u}}_{0}{\mathfrak {u}}_{1}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial {\mathfrak {x}}_{0}\partial {\mathfrak {x}}_{1}}}\right),$

folglich:

(37.)

$W=\Sigma \Sigma \ {\mathsf {Dv}}_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}\left[{\mathfrak {S}}_{0}{\mathfrak {S}}_{1}\left({\mathfrak {u}}_{0}{\mathfrak {u}}_{1}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial {\mathfrak {x}}_{0}\partial {\mathfrak {x}}_{1}}}\right)\right].$

Setzt man für den Augenblick ${\frac {\partial w}{\partial {\mathfrak {x}}_{1}}}=\lambda$, so wird

${\begin{array}{ll}{\mathfrak {S}}_{0}\left({\mathfrak {u}}_{0}{\mathfrak {u}}_{1}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial {\mathfrak {x}}_{0}\partial {\mathfrak {x}}_{1}}}\right)&={\mathfrak {u}}_{1}\left({\mathfrak {u}}_{0}{\frac {\partial \lambda }{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}+{\mathfrak {v}}_{0}{\frac {\partial \lambda }{\partial {\mathfrak {y}}_{0}}}+{\mathfrak {w}}_{0}{\frac {\partial \lambda }{\partial {\mathfrak {z}}_{0}}}\right),\\\\&={\mathfrak {u}}_{1}\left[\left({\frac {\partial \lambda {\mathfrak {u}}_{0}}{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}+\cdots \right)-\lambda \left({\frac {\partial {\mathfrak {u}}_{0}}{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}+\cdots \right)\right].\end{array}}$

Hieraus folgt durch Ausführung der Integration nach ${\mathsf {Dv}}_{0}$ sofort:

$\Sigma \ {\mathsf {Dv}}_{0}\left[{\mathfrak {S}}_{0}\left({\mathfrak {u}}_{0}{\mathfrak {u}}_{1}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial {\mathfrak {x}}_{0}\partial {\mathfrak {x}}_{1}}}\right)\right]=\Sigma \ {\mathsf {D}}o_{0}\left(\lambda F_{0}{\mathfrak {u}}_{1}\right)+\Sigma \ {\mathsf {Dv}}_{0}\left(\lambda E_{0}{\mathfrak {u}}_{1}\right),$

wo $F_{0},E_{0}$ die Ausdrücke (30.c) repräsentiren. Substituirt man für $\lambda$ seine eigentliche Bedeutung, so erhält man:

$\Sigma \ {\mathsf {Dv}}_{0}\left[{\mathfrak {S}}_{0}\left({\mathfrak {u}}_{0}{\mathfrak {u}}_{1}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial {\mathfrak {x}}_{0}\partial {\mathfrak {x}}_{1}}}\right)\right]=\Sigma \ {\mathsf {D}}o_{0}\left(F_{0}{\frac {\partial w}{\partial {\mathfrak {x}}_{1}}}{\mathfrak {u}}_{1}\right)+\Sigma \ {\mathsf {Dv}}_{0}\left(E_{0}{\frac {\partial w}{\partial {\mathfrak {x}}_{1}}}{\mathfrak {u}}_{1}\right).$

Hieraus folgt durch Ausführung der Operation ${\mathfrak {S}}_{1}$:

$\Sigma \ {\mathsf {Dv}}_{0}\left[{\mathfrak {S}}_{0}{\mathfrak {S}}_{1}\left({\mathfrak {u}}_{0}{\mathfrak {u}}_{1}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial {\mathfrak {x}}_{0}\partial {\mathfrak {x}}_{1}}}\right)\right]=\Sigma \ {\mathsf {D}}o_{0}\left(F_{0}{\frac {\partial w}{\partial s_{1}}}i_{1}\right)+\Sigma \ {\mathsf {Dv}}_{0}\left(E_{0}{\frac {\partial w}{\partial s_{1}}}i_{1}\right),$

und endlich durch Ausführung der Summation nach ${\mathsf {Dv}}_{1}$:

(38.)

$W=\Sigma \Sigma \ {\mathsf {D}}o_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}\left(F_{0}{\frac {\partial w}{\partial s_{1}}}i_{1}\right)+\Sigma \Sigma \ {\mathsf {Dv}}_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}\left(E_{0}{\frac {\partial w}{\partial s_{1}}}i_{1}\right).$

Nun war aber vorausgesetzt worden, dass die elektrischen Strömungszustände im Innern der Körper $A$ und $B$ gleichförmig und an ihren Oberflächen tangential sind. Demnach sind $E_{0}$ und $F_{0}$ gleich Null, und folglich:

(39.)

$W=0;\qquad \mathrm {w.\ z.\ z.\ w} .$

Man erkennt beiläufig aus diesem Beweise, dass das Integral $W$ auch dann schon Null sein wird, wenn ein gleichförmiger Strömungszustand nur in einem der beiden Körper vorhanden ist. Endlich findet der Uebergang von (35.b) zu (35.c) augenblicklich seine Rechtfertigung, sobald man beachtet, dass zwischen den Ausdrücken $\Pi$ und $\Omega$ eine Relation stattfindet von der Form:

(40.)

$\Omega =\Pi -{\frac {\partial ^{2}f(r)}{\partial s_{0}\partial s_{1}}},$

wie früher gefunden wurde (Note, pag. 146).

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1. Der totale Zuwachs von $P$, d.i. derjenige, welchen $P$ während der Zeit $dt$ in Wirklichkeit erfährt, kann [vergl. (3.a,b,c,d)] dargestellt werden durch: $dP={\frac {\partial P}{\partial \tau _{0}}}dt+{\frac {\partial P}{\partial {\mathsf {T}}_{0}}}dt+{\frac {\partial P}{\partial \tau _{1}}}dt+{\frac {\partial P}{\partial {\mathsf {T}}_{1}}}dt,$

   oder kürzer durch:

   $dP=\delta _{0}P+\Delta _{0}P+\delta _{1}P+\Delta _{1}P;$

   wo das erste Glied $\delta _{0}P$ zu bezeichnen ist als der partielle Zuwachs von P nach der räumlichen Lage von $A$, das zweite $\Delta _{0}P$ als der partielle Zuwachs von $P$ nach dem elektrischen Zustande von $A$, während die beiden letzten Glieder $\delta _{1}P$ und $\Delta _{1}P$ analoge Bedeutungen haben mit Bezug auf $B$.

2. Vergl. pag. 56 und 146.
3. Nur ist zu beachten, dass bei jenem Ampère’schen Gesetz, wenigstens bei seiner Anwendung auf lineare Leiter, $\Theta _{0},\Theta _{1},{\mathsf {E}}$ die Cosinus von Winkeln sind, welche lediglich durch die ponderablen Massen sich bestimmen; hier hingegen die Cosinus von Winkeln, deren Schenkel repräsentirt sind theils durch die von ${\mathsf {Dv}}_{1}$ nach ${\mathsf {Dv}}_{0}$ laufende Linie $r$, theils aber auch durch die in ${\mathsf {Dv}}_{0}$ und ${\mathsf {Dv}}_{1}$ augenblicklich vorhandenen elektrischen Strömungsrichtungen.