| §. 30. Die elektromotorische Wirkung eldy. Us zweier beliebig gestalteter Körper auf einander.
Es seien gegeben zwei beliebig gestaltete Körper
![{\displaystyle A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3)
und
![{\displaystyle B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)
, beide begriffen in irgend welchen Bewegungen, während gleichzeitig im Innern eines jeden irgend welche elektrische Vorgänge stattfinden.
| Ferner sei
![{\displaystyle m_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a6ff51ee949104fe6fae553cfbdfba29d5fac1e)
irgend ein Punct innerhalb
![{\displaystyle A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3)
, und
![{\displaystyle {\mathsf {Dv}}_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea8b809b670a6519e910788ed9e0ca3f61870c1e)
irgend ein Volumelement des Körpers
![{\displaystyle B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)
. Ermittelt soll werden diejenige elektromotorische Kraft eldy. Us
(35.)
|
|
welche von dem Element
während der Zeit
hervorgebracht wird im Puncte
.
Der Untersuchung mag ein beliebiges rechtwinkliges Axensystem (x, y, z) zu Grunde gelegt sein; es mag nämlich dasselbe, um den höchsten Grad der Allgemeinheit zu erreichen, weder absolut fest, noch auch starr verbunden mit einem der beiden Körper, sondern vielmehr begriffen gedacht werden in irgend welcher eigenen Bewegung. Mit Bezug auf dieses Axensystem fuhren wir folgende Bezeichnungen ein:
die Coordinaten von
;
die Richtungscosinus eines von
ausgehenden, mit der ponderablen Masse von
starr verbundenen Linienelementes
, dessen Richtung im Innern dieser ponderablen Masse willkührlich gewählt sein darf;
- die Aenderungen
, welche
während der Zeit
erfahren, werden alsdann (vergl. pag. 48) dargestellt sein durch die Formeln:
(36.)
|
|
- wo
diejenigen Drehungen sind, welche der Körper
während der Zeit
erleidet in Bezug auf die drei Axen x, y, z.
Coordinaten von
;
die zur Zeit
(d. i. zu Anfang des betrachteten Zeitelementes
) in
vorhandene elektrische Strömung;
die Componenten von
, genommen nach den Axen x, y, z;
die Entfernung zwischen
und
;
die Richtungscosinus von
;
die Componenten der gesuchten Kraft
, (35.), ebenfalls genommen nach den Axen x, y, z.
die Charakteristik für die während der Zeit
stattfindenden Veränderungen, genau in demselben Sinne wie früher [vergl. (3.a,b,c,d) pag. 158, 159].
| Zunächst eine Bemerkung zur besseren Orientirung über jene Charakteristiken
![{\displaystyle \delta ,\Delta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c67bf61c69a4a948c44fe37055a6b03e81b8f47b)
. Die im Elemente
![{\displaystyle {\mathsf {Dv}}_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea8b809b670a6519e910788ed9e0ca3f61870c1e)
zur Zeit
![{\displaystyle t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560)
vorhandene elektrische Strömung
![{\displaystyle u_{1},v_{1},w_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1cefd7fbceb0ac7b73dd0264c589d78a4dde8a6)
erleidet während des folgenden Zeitelementes
zweierlei Veränderungen, die eine herrührend von den Vorgängen im Innern des Körpers
![{\displaystyle B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)
, die andere herrührend von der relativen Bewegung dieses Körpers in Bezug auf das zu Grunde gelegte Axensystem (
x, y, z). Wir werden daher die zur Zeit
![{\displaystyle t+dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbf0d05f576ad31a7c7943c1daafab81501b7695)
vorhandene Strömung
![{\displaystyle u_{1}+du_{1},\ v_{1}+dv_{1},\ w_{1}+dw_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/491e7e3c11374b803e4a00cee0d33258a06b7b31)
am Bequemsten dadurch erhalten können, dass wir diese Aenderungen einzeln, eine
nach der andern, vor sich gehen lassen; dabei mag, der Anschaulichkeit willen, jene Strömung geometrisch — durch eine von
![{\displaystyle {\mathsf {Dv}}_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea8b809b670a6519e910788ed9e0ca3f61870c1e)
ausgehende Linie von entsprechender Richtung und Länge — dargestellt gedacht werden.
Die zur Zeit
vorhandene Linie
![{\displaystyle u_{1},\ v_{1},\ w_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0649a02cede836eb7ab7202cfa60895b15e5de2)
wird, falls man die der Zeit
entsprechenden inneren Vorgänge des Körpers
sich vollziehen lässt, seine relative Bewegung gegen das Axensystem (x, y, z) vorläufig aber sistirt, übergehen in eine gewisse andere, mit
![{\displaystyle u_{1}+\Delta u_{1},\ v_{1}+\Delta v_{1},\ w_{1}+\Delta w_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cab202937c81a2a37ea481f80cdc88dcdc63e054)
zu bezeichnende Linie. Diese letztere Linie aber verwandelt sich, falls man nun nachträglich jene relative Bewegung des Körpers
ebenfalls zur Ausführung bringt, in eine Linie
![{\displaystyle U_{1},\ V_{1},\ W_{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67d58d589dc110192b4c69b0e5bb42693e7d41c2)
deren Componenten bestimmt sind durch die Formeln (vergl. pag. 48):
![{\displaystyle {\begin{array}{ll}U_{1}&=\left(u_{1}+\Delta u_{1}\right)+\left[\left(w_{1}+\Delta w_{1}\right)\delta \beta _{1}-\left(v_{1}+\Delta v_{1}\right)\delta \gamma _{1}\right],\\V_{1}&=\left(v_{1}+\Delta v_{1}\right)+\left[\left(u_{1}+\Delta u_{1}\right)\delta \gamma _{1}-\left(w_{1}+\Delta w_{1}\right)\delta \alpha _{1}\right],\\W_{1}&=\left(w_{1}+\Delta w_{1}\right)+\left[\left(v_{1}+\Delta v_{1}\right)\delta \alpha _{1}-\left(u_{1}+\Delta u_{1}\right)\delta \beta _{1}\right],\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/499d77f6cbce33a73f226fb8943cbabf766f2301)
wo unter
die Drehungen zu verstehen sind, welche der Körper
während der Zeit
erleidet in Bezug auf die Axen x, y, z. Diese Formeln lassen sich, mit Fortlassung der unendlich kleinen Grössen zweiter Ordnung, so darstellen:
![{\displaystyle {\begin{array}{ll}U_{1}-u_{1}&=\Delta u_{1}+\left(w_{1}\delta \beta _{1}-v_{1}\delta \gamma _{1}\right),\\V_{1}-v_{1}&=\Delta v_{1}+\left(u_{1}\delta \gamma _{1}-w_{1}\delta \alpha _{1}\right),\\W_{1}-w_{1}&=\Delta w_{1}+\left(v_{1}\delta \alpha _{1}-u_{1}\delta \beta _{1}\right).\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a17171eb73232470d16d922e905c9dcc1841168)
Die linken Seiten der Formeln sind offenbar diejenigen Aenderungen, welche
während der Zeit
in Wirklichkeit erfahren, also zu bezeichnen mit
. Somit erhalten wir:
(37.)
|
|
| wo
![{\displaystyle \Delta u_{1},\Delta v_{1},\Delta w_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42227e56e7f3b163862c794d50700360a950699b)
diejenigen Theile der Zuwüchse
![{\displaystyle du_{1},\ dv_{1},\ dw_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2af8bba795652303ec344bd64ea83daeff6a30f5)
vorstellen, welche veranlasst sind durch die Strömungsänderungen im Innern des Körpers
![{\displaystyle B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)
, und
![{\displaystyle \delta u_{1},\delta v_{1},\delta w_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e96a1149ad835bcd8553cc1a1641c4c70c4d732)
diejenigen andern Theile jener Zuwüchse bezeichnen, welche herrühren von der relativen Bewegung des Körpers
![{\displaystyle B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)
in Bezug auf das zu Grunde gelegte Axensystem (
x, y, z).
Wir gehen über zur eigentlichen Aufgabe. Die Componente
![{\displaystyle \mathrm {A} _{0}X_{0}^{1}dt+\mathrm {B} _{0}Y_{0}^{1}dt+\Gamma _{0}Z_{0}^{1}dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cce84d581a218adf3926410a44a3e420c36eec6)
der gesuchten Kraft
(35.), genommen nach der Richtung des mit
verbundenen Linienelementes
, kann unmittelbar angegeben werden auf Grund früherer Untersuchungen [(15.), pag. 173]; man erhält:
(38.)
|
|
wo
und
mit Rücksicht auf die gegenwärtigen Bezeichnungen, sich darstellen lassen durch:
(39.)
|
|
Demgemäss sind
homogene lineare Functionen von
. Als solche mögen sie bezeichnet werden mit:
(40.)
|
|
Hieraus folgt:
(41.)
|
|
(42.)
|
|
Bedienen wir uns nun der Gleichungen (36.):
![{\displaystyle {\begin{array}{l}\delta \mathrm {A} _{0}=\Gamma _{0}\delta \beta _{0}-\mathrm {B} _{0}\delta \gamma _{0},\\\delta \mathrm {B} _{0}=\mathrm {A} _{0}\delta \gamma _{0}-{\mathsf {\Gamma }}_{0}\delta \alpha _{0},\\\delta \Gamma _{0}=\mathrm {B} _{0}\delta \alpha _{0}-\mathrm {A} _{0}\delta \beta _{0},\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42eb34ba0375426146404c05611c0fd8483c68cc)
so nimmt die Formel (42.) folgende Gestalt an:
(43.)
|
|
| In analoger Weise wird offenbar:
(44.)
|
|
Substituirt man in (38.) die Werthe (40.), (41.) und (43.), (44.) so entsteht eine Formel, in welcher die rechte Seite, ebenso wie die linke, eine homogene lineare Function von
ist, während die in
multiplicirten Coefficienten von
unabhängig sind. Denn man erkennt sofort, dass die genannten Coefficienten vollkommen dieselben auch dann sein würden, wenn man (ohne in den gegebenen Bewegungen und inneren Vorgängen das Mindeste zu ändern) an Stelle der zu Anfang im Innern der ponderablen Masse von
willkührlich gewählten Richtung
irgend welche andere Richtung
, gewählt hätte. Folglich müssen in jener Formel die genannten Coefficienten einzeln einander gleich sein. In solcher Weise ergeben sich drei Relationen, von denen die erste so lautet:
(45.)
|
|
während die beiden andern analoge Werthe liefern für
. Die Bedeutungen, welche
hier besitzen, sind [nach (39.), (40.)] folgende:
(46.)
|
|
wo
überall zur Abkürzung steht für
. — Somit gelangen wir zu folgendem Resultat.
Sind
und
irgend zwei in Bewegung begriffene Körper, ferner
irgend ein Punct von
, und
irgend ein Volumelement von
, und sollen in Bezug auf ein ebenfalls in beliebiger Bewegung begriffenes rechtwinkliges Axensystem (
) die Componenten
![{\displaystyle X_{0}^{1}dt,\ Y_{0}^{1}dt,\ Z_{0}^{1}dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8da27495a3c9532996fb67ff9b6f29528a253b3e)
derjenigen elektromotorischen Kraft eldy. Us angegeben werden, welche
während der Zeit
in
hervorbringt, so bilde man zunächst die Richtungscosinus:
(47.a)
|
|
| wo
die Coordinaten von
, ferner
diejenigen von
, und
die Entfernung zwischen
und
vorstellen; sodann bilde man mit Bezug auf die in
vorhandenen Strömungscomponenten
die Ausdrücke:
(47.b)
|
|
die Werthe jener gesuchten Componenten sind alsdann folgende:
(47.c)
|
|
wo
die Drehungen des Körpers
während der Zeit dt bezeichnen respective um die Axen
.
Diese Formeln (47.c) vereinfachen sich, sobald man für das Coordinatensystem (
) ein solches nimmt, welches mit der ponderablen Masse des Körpers
starr verbunden ist (also Theil nimmt an der etwaigen Bewegung von
); denn alsdann verschwinden die Grössen
. — Noch bedeutender wird die Vereinfachung, wenn gleichzeitig das zu betrachtende Element
nicht einem andern Körper
, sondern vielmehr eben demselben Körper
angehört; denn alsdann verschwinden die mit
bezeichneten Incremente sämmtlich; so dass also z. B. die erste jener Formeln (47.c) alsdann sich reducirt auf:
![{\displaystyle X_{0}^{1}dt={\mathsf {Dv}}_{1}\cdot \Delta \Omega '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17e2c17f63459c57cf21ca817a9ff46710770013)
Nun ist nach (47.b):
![{\displaystyle \Omega '=\omega \mathrm {A} \left(\mathrm {A} u_{1}+\mathrm {B} v_{1}+\Gamma w_{1}\right)+{\overset {II}{\omega }}u_{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59815350bf5fa6c39d330bb00acd3f801b52e734)
mithin
![{\displaystyle \Delta \Omega '=\omega \mathrm {A} \left(\mathrm {A} \Delta u_{1}+\mathrm {B} \Delta v_{1}+\Gamma \Delta w_{1}\right)+{\overset {II}{\omega }}\Delta u_{1};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31751a09a50a658eb0ba20e4794ca4b9fbf971a6)
| im vorliegenden speciellen Falle ist aber
![{\displaystyle \delta u_{1}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45b87f9e7d65e407e637949d5c2f7ce88d8f6802)
, mithin
![{\displaystyle du_{1}=\Delta u_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/351ea8554ab0925ba7c290158f711f5dd29544d3)
, ebenso
![{\displaystyle dv_{1}=\Delta v_{1},\ dw_{1}=\Delta w_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa244064bd46db94082437149dc0b3ca9e28c071)
; so dass man also auch schreiben kann:
![{\displaystyle \Delta \Omega '=\omega \mathrm {A} \left(\mathrm {A} du_{1}+\mathrm {B} dv_{1}+\Gamma dw_{1}\right)+{\overset {II}{\omega }}du_{1};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1553f100191a8dcbe586b867b79aa4b2da0a3a27)
oder mit Rücksicht auf (47.a):
![{\displaystyle \Delta \Omega '=\omega {\frac {x_{0}-x_{1}}{r}}{\frac {\left(x_{0}-x_{1}\right)du_{1}+\left(y_{0}-y_{1}\right)dv_{1}+\left(z_{0}-z_{1}\right)dw_{1}}{r}}+{\overset {II}{\omega }}du_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e54b7887ee54c3618c7161ea4046aedc70aa64fb)
Somit gelangt man zu folgendem specielleren Satz:
Ist
, mit den Coordinaten
ein Punct innerhalb eines gegebenen ponderablen Körpers
, ferner
, mit den Coordinaten
irgend ein Volumelement von
, ferner
die gegenseitige Entfernung zwischen
und
, und sind endlich
die Componenten der in
zur Zeit
vorhandenen elektrischen Strömung, so werden die Componenten
derjenigen elektromotorischen Kraft eldy. Us, welche
während der Zeit
im Puncte
hervorbringt, die Werthe haben:
(48.)
|
|
Dabei ist vorausgesetzt, dass das zu Grunde gelegte Coordinatensystem (
) in starrer Verbindung steht mit der ponderablen Masse des gegebenen Körpers[1].
- ↑ Die hier auftretenden Functionen
und
sind, wie früher (pag. 148) gefunden war, mit einander verknüpft durch die Relation
(49.)
|
|
Für den Fall eines beträchtlichen
ist
, die Gestalt dieser Relation also folgende:
( .)
|
|
Macht man nun die nicht unwahrscheinliche Annahme, dass für den Fall eines beträchtlichen
die Functionen
von der Form sind
( .)
|
|
wo
Constante sein sollen, so geht jene Relation über in:
( .)
|
|
[183] oder
( .)
|
|
Hieraus folgt:
( .)
|
|
wo
eine noch unbekannte Constante vorstellt. Endlich folgt aus (
.) und (
.):
( .)
|
|
Durch Substitution dieser Werthe (
.) würden die Gleichungen (48.) in diejenigen sich verwandeln, von denen Helmholtz bei seinen letzten Untersuchungen ausgegangen ist (vergl. Borchardt’s Journal, Bd. 72, pag. 76). Wenn indessen Helmholtz der Ansicht ist, die hier hineingetretene Constante
müsse Null oder positiv sein; so wird sich im weiteren Verlaufe unserer Untersuchungen das Gegentheil herausstellen, nämlich nachgewiesen werden, dass die Function
identisch mit Null, und dass also [nach (
.)] die Constante
identisch mit (−1) sein muss.