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§ 4.
Vollständige Lösung für Kugeln und Hohlkugeln von endlicher Dicke.
Wir wenden uns jetzt zur Bestimmung der Induction in einer Hohlkugel von endlicher Dicke. Um Weitläufigkeiten zu vermeiden, mögen zunächst nur im äussern Raum inducirende Magnete vorausgesetzt werden.
| Es seien

die Componenten eines Vectorpotentiales, welches von geschlossenen Strömen herrührt, die ganz oder theilweise im Innern der Kugel liegen. Wir suchen die von

inducirten Ströme

Für dieselben bestehen die Gleichungen:
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ferner im Innern:
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und an der Oberfläche:
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Wir setzen zur Abkürzung
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Unter Beachtung des Umstandes, dass
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ist, erhalten wir nun für
die Bedingungen:
In der Masse der Hohlkugel:
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und an der Grenze
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[2] Wir beweisen zunächst den folgenden Satz:
Haben
die Form:
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welche Form der Gleichung
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genügt, so sind die Lösungen der vorstehenden Differentialgleichungen:
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Um den Beweis der Richtigkeit zu führen, drücken wir zunächst die Bedingungen für
in
aus. Es ist (§ 1,4)
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[3] |
| ferner:
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Daraus folgt:
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Also werden die Bedingungen für
:
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an der Grenze:
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Diesen Bedingungen aber genügt
denn es ist
erstens:
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wonach die erste Bedingung erfüllt ist;
zweitens ist
das Produkt aus einer Funktion der Winkel und
also
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| wonach auch die zweite Bedingung erfüllt ist. Aus dem so als richtig nachgewiesenen

folgen aber die

durch die ursprünglichen Differentialgleichungen, zunächst allerdings in einer etwas complicirteren Form. Ganz dieselbe Form ist aber schon Seite 11 aufgetreten, und es hat sich schon dort gezeigt, dass sie mit der hier gegebenen identisch ist.
An diesen Satz knüpfen sich die folgenden Bemerkungen. [4]
1. Wir können in demselben
durch eine Reihe von Potenzen, deren jede mit einer willkürlichen Constanten multiplicirt ist, also durch eine willkürliche Funktion von
ersetzen. Wir können zweitens
durch eine Reihe von Kugelfunktionen verschiedenen Grades mit beliebigen Coeffizienten ersetzen, da die Ordnungszahl
im Endresultat keine Rolle spielt. Hieraus ergiebt, sich folgende Verallgemeinerung des Satzes:
Ist
eine ganz beliebige Funktion und
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so sind die von
inducirten
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Es ist nicht schwer, diesen Satz mit den in früheren Paragraphen erhaltenen Resultaten in Verbindung zu setzen.
2. Die durch obige Formen gegebenen

rühren
| von Strömungen her, die in concentrischen Kugelschaalen erfolgen. Denn es ist
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Umgekehrt lassen sich die
solcher Strömungen immer in obiger Form darstellen. Denn ist
das Glied in der Entwicklung der Strömungsfunktion, welches die
te Kugelfunktion enthält, so haben die zu diesem Gliede gehörigen
ohne Weiteres die obige Form.
Andererseits geschehen auch die inducirten Strömungen in concentrischen Kugelschaalen. Denn es ist
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Wir folgern daraus:
[5] Eine Strömung, welche in concentrischen Kugelschaalen erfolgt, inducirt eine Strömung, welche dieselbe Eigenschaft hat. Und weiter: Die Strömungen, welche in einer rotirenden Hohlkugel durch ruhende Magnete inducirt werden, erfolgen immer in concentrischen Kugelschaalen um den Nullpunkt.
3. Es ist
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sobald
die obige Form, also die inducirenden Ströme die besprochene Eigenthümlichkeit haben. Wir werden dies in § 8 benutzen müssen.
Es ist nun nicht mehr schwer, die successiven Inductionen zu berechnen, welche ein gegebenes äusseres Potential hervortuft. [6] Sei
das
te Glied in der Entwickelung desselben. Wir fanden die Ströme erster Induction:
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Die zugehörigen

sind:
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Man findet diese Werthe durch eine einfache Integration, indem man beachtet, dass
Produkte von
und Kugelflächenfunktionen sind. Das Potential jeder unendlich dünnen Kugelschicht im Innern und Aeussern derselben ist bekannt und eine Integration nach
giebt die angeführten Werthe. Es folgen aus denselben die Strömungen zweiter Induction:
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In derselben Weise kann die Rechnung beliebig fortgesetzt werden, die Resultate derselben werden jedoch immer complicirter und wir wenden uns daher zur exacten Lösung des Problems.
Wir sahen, dass die Strömungen immer senkrecht zum Radius sind, wir können also wieder von der Strömungsfunktion Gebrauch machen.
Sei
eine beliebige Funktion von
, sei
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die Strömungsfunktion eines in der Kugel bestehenden Stromsystems.
Die Stromdichten sind:
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[7] |
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Sei nun
eine zweite Funktion von
, welche mit
durch die Gleichung verbunden ist:
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aus welcher durch Differentiation folgt:
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Es sind dann die zu
gehörigen
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Daraus folgen die von dem System
inducirten Ströme:
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Die zu diesem System gehörige Strömungsfunktion ist:
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| Es inducirt also die Funktion
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die andere
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Es bedeute nun
die in der Kugel unter dem Einfluss der äussern Potentialfunktion
thatsächlich bestehende Strömung,
sei die von den äussern Magnetismen direct inducirte Strömung, dann ist offenbar die Bedingung des stationären Zustandes:
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Um diese Gleichung weiter zu entwickeln, zerlegen wir
und betrachten jedes Glied für sich; sei das vorgelegte:
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Wir haben dann (Seite 13):
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Setzt man nun
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so wird
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Die Gleichung
ist nun erfüllt, wenn
und
den Gleichungen genügen:
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durch welche
und
vollständig bestimmt sind.
Denken wir uns

und

gefunden, so lässt sich das Resultat der Untersuchung in folgender Form aussprechen:
| Die Selbstinduction lässt die Form der Strömungslinien (für jedes einzelne Glied der Entwickelung) ungeändert, ihre Wirkung besteht darin:
erstens, die Erscheinung um den
ten Theil eines gewissen Winkels
im Sinne der Rotation zu drehen, eines Winkels, der für die verschiedenen Schichten von verschiedener Grösse ist, und für welchen die Gleichung
gilt,
zweitens, die Intensität der Strömung in den verschiedenen Schichten in verschiedener Weise abzuändern. Das Verhältniss der wirklich stattfindenden Intensität zu der ohne Berücksichtigung der Selbstinduction erhaltenen ist
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Mit der Bestimmung der Funktionen
und
werden wir uns einige Zeit zu beschäftigen haben.
[8] Wir führen die folgenden Abkürzungen ein: Es sei
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Wir denken uns in die Gleichungen, welche
und
bestimmen für
und
ihre Werthe gesetzt, wir transformiren sodann die Gleichungen auf
und
und erhalten:
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Durch Differentiation geben dieselben:
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| Die Form der Funktionen

und

hängt also nur ab von

in den Integrationsconstanten kommen dann allerdings noch

und

vor.
Obige Gleichungen können geschrieben werden:
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Als Differentialgleichungen können dieselben vollständig ersetzt werden durch die folgenden:
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Denn alle Lösungen der letzteren befriedigen erstere, und die allgemeine Lösung der letzteren enthält
willkürliche Constanten, ist also auch die allgemeine Lösung der ersteren.
Setzen wir
und verstehen insbesondere unter
diejenigen Wurzeln dieser Gleichung, deren reeller Theil positiv ist, also
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so werden unsere Gleichungen:
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Die beiden particulären Integrale derselben sind:
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gültig für reelle positive
Dass diese Integrale die Gleichungen befriedigen, wird etwas weiter unten gezeigt werden. Da in unserm Falle

eine ganze Zahl ist, so lassen sich die Integrale ausführen und also das Resultat der Auflösung in endlicher geschlossener
| Form aufstellen, der Einfachheit halber möge die Integralform beibehalten werden. Setzt man
[9] |
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so sind offenbar die Lösungen der Differentialgleichungen:
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Diese Lösungen sind in die Integralgleichungen einzusetzen und daraus die Constanten zu bestimmen. Zur Ausmittlung der dabei auftretenden Integrale dienen die folgenden Rechnungen:
Man hat:
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[10].
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[10].
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Die letzte Gleichung zeigt, dass

eine Lösung der vorgelegten Differentialgleichung ist.
| Durch rückwärtsschreitende Integration findet man nun aus den vorigen Formeln:
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und
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aus welchen durch Differentiation die Recursionsformeln folgen:
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[11] |
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aus welchen folgt:
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Ganz ähnliche Rechnungen lassen sich nun auch für die
durchführen, die Resultate gehen aus den eben gewonnenen einfach durch Vertauschung von
mit
hervor, man hat also auch
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Mit Zuhülfenahme dieser Formeln hat die Ausführung der nothwendigen Integrationen keine Schwierigkeit, beispielsweise hat man, unter Zuhülfenahme einer partiellen Integration:
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Setzt man diese und die ähnlich zu bildenden Ausdrücke für
in die Gleichungen ein, beachtet, dass
und
so heben sich die
und
wie es sein muss, heraus und es bleiben Gleichungen zurück von der Form
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welches die Lösungen der Gleichung
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sind.
Die hier auftretenden Constanten müssen einzeln verschwinden, und es werden so die folgenden 4 Gleichungen für
erhalten, unter Beachtung des Umstandes, dass
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ist:
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Dieselben lassen sich leicht auflösen und ergeben:
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| Indem man diese Ausdrücke in

und

einsetzt, erhält man die vollständige Lösung. Dieselbe lässt sich einfacher darstellen in folgender Weise: Da

und

conjugirt sind, so sind auch

und

conjugirt, ebenso sind, wie man leicht sieht,

und

conjugirt, und es ist daher
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gleich dem doppelten Werthe des reellen Theiles jedes dieser Ausdrücke. Ebenso ist
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welcher Ausdruck in
vorkommt, gleich dem Doppelten des imaginären Theiles des ersten Gliedes. Indem man dies beachtet, und die Werthe von
und
erkennt man leicht die Richtigkeit der Gleichung:
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[12] |
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Besonders einfach wird die Gleichung, wenn
ist, es sich also um eine Vollkugel handelt. Dann ist
unendlich, unsere Gleichung wird also:
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Die Grössen, auf deren Kenntniss es uns besonders ankommt, nämlich der Winkel
und die Verstärkung der Stromstärke
haben eine sehr einfache analytische Bedeutung, sie sind Amplitude und Modul der links stehenden complexen Grössen.
Die Rechnungen lassen sich weiter führen mit Zuhülfenahme der folgenden Bemerkungen:
Die Integrale, durch welche

und

definirt sind, lassen
[13] sich für ganzzahlige

unbestimmt ausführen, und die

und

also in geschlossener Form erhalten. Wir können und wollen unter den

und

diese so ausgerechneten Funktionen verstehen.
| Dann sind auch

mit negativem Argument zulässig, und es gilt die Gleichung
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aus welcher folgt, dass
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Denn sei, unbestimmt ausgeführt
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dann ist
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Aber es ist für ganze
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und so folgt die Behauptung.
Die einfachsten Integrale der ursprünglichen Differentialgleichung sind also:
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und
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Folgendes sind die Werthe der ersten
von welchen der erste direct, die übrigen durch Recursion bestimmt sind:
[14] |
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etc.,
woraus also folgt:
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Für grosse Werthe von
nähern sich die
und
den Ausdrücken:
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[15] |
Für sehr kleine Werthe von
wird:
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Die Gleichung
verliert hier ihre Bedeutung, da für
wird. Um auch für sehr kleine
zu kennen, entwickeln wir es in eine Reihe nach aufsteigenden Potenzen von
Es geschieht das leicht, indem man in dem Integral, welches
darstellt, für
seine Reihe setzt und gliedweise integrirt, man erhält:
|
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Von Wichtigkeit für später ist uns noch die folgende Formel: Es ist:
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welche Formel sich durch die für
gefundene Recursionsformel leicht beweisen lässt.
In allen besprochenen Eigenschaften der

und

zeigt sich eine nahe Verwandtschaft derselben zu den Bessel’schen Funktionen, in der That lassen sich die

durch die

und

ausdrücken.
| Aus der Formel, welche unser Resultat bildete, können wir nun die Funktion

fortschaffen, und erhalten:
[16] |
[17] |
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[18] Wir wenden diese Formel, welche die exacte Lösung giebt, auf specielle Fälle an, welche Vereinfachungen zulassen.
[19] 1. Es sei zunächst die Hohlkugel sehr dünn, sei
ihre Dicke. Es ist dann
sehr wenig verschieden von
sei
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wo nun ist.
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Für
können wir einen beliebigen Werth zwischen
und
setzen, sei
Setzt man diesen Werth in obige Formel ein, wendet im Nenner die Substitution
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an, und dividirt durch den Zähler, so erhält man
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Setzt man nun entwickelnd:
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| so kann man unter Zuhülfenahme von Formel a) (Seite 47) die

durch Division wegheben und erhält
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Nun ist aber
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nach unserer früheren Bezeichnungsweise, also wird
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welches Resultat mit dem früher erhaltenen zusammenfällt.
Wir haben sonach einerseits unsere Formel an einem schon bekannten Resultat geprüft, andererseits den Beweis geführt, dass die früher gegebenen Formeln für alle
gelten, welcher Beweis noch ausstand.
2. Wir wenden zweitens unsere Formel auf den Fall an, dass wir in den
und
nur die erste Potenz der Drehungsgeschwindigkeit beizubehalten brauchen. Der Einfachheit halber beschränken wir uns auf eine Vollkugel. Für eine solche hatten wir
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[20] |
Entwickeln wir die
und behalten nur die ersten Potenzen bei, so folgt
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Eine nähere Betrachtung dieser Formel zeigt, dass die aus derselben für

und

folgenden Werthe, in

eingesetzt, nichts anderes ergeben, als die Inductionen erster und zweiter
| Ordnung, welche wir schon auf Seite 37 berechnet haben. Wir betrachten hier nur den Drehungswinkel. Mit ausschliesslicher Berücksichtigung der ersten Potenzen hat man:
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also den Drehungswinkel
|
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Es erscheinen also alle Schichten gedreht, die Drehung ist am kleinsten an der Oberfläche der Kugel und nimmt von dort gegen das Innere stetig zu. Denkt man sich durch den Aequator der Kugel einen ebenen Schnitt gelegt, und verbindet correspondirende Punkte der verschiedenen Schichten, so erhält man ein System congruenter Curven, welches sehr geeignet ist, den Zustand der Kugel zu veranschaulichen. Die Gleichung einer dieser Curven ist offenbar:
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oder sehr nahezu:
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In Figur c Tafel 1 sind diese Curven dargestellt für den Fall, dass die Kugel von Kupfer
ist, und dass die Kugel
Umdrehungen in der Sekunde macht.
3. Es werde drittens angenommen, dass
so gross sei, dass für die
und
ihre angenäherten Werthe gesetzt werden können. Es werde ferner angenommen, dass das [21] Verhältnis
weder sehr nahe
noch sehr nahe
sei. Ersterer Fall ist schon erledigt, letzterer muss besonders betrachtet werden. Durch Einsetzung der Näherungswerthe in die exacte Formel wird erhalten:
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| Da

nicht sehr nahe gleich

beide aber sehr gross sein sollen, so verschwindet im Nenner das zweite Glied gegen das erste, und es wird
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Das zweite Glied der Parenthese verschwindet gegen das erste, ausser wenn
ist, verzichten wir daher auf eine genaue Kenntniss der Strömung an der innern Grenze, so können wir setzen:
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Da
oder
aus dieser Gleichung verschwunden ist, so ist anzunehmen, dass sie auch für Vollkugeln Gültigkeit hat, in der That ergiebt sie sich leicht aus den für Vollkugeln geltenden exacten Formeln, wenn man ähnliche Vernachlässigungen macht, wie die oben ausgeführten, und auf eine genaue Kenntniss der Strömung im Centrum verzichtet, (wo übrigens die Intensität sehr klein ist).
In den erhaltenen Ausdrücken ist
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ohne die Sonderung des Imaginären und Reellen auszuführen finden wir leicht:
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Setzt man diese Ausdrücke in
ein, so erhält man
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welches also diejenige Strömungsfunktion ist, die bei sehr grossen Drehungsgeschwindigkeiten von der äussern Potentialfunktion
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hervorgerufen wird.
Die Bedeutung obiger Formel lässt, sich leicht durchschauen, stellen wir ihr Ergebniss mit den früheren zusammen, so können wir die Erscheinung, welche eine mit beständig wachsender Geschwindigkeit unter dem Einfluss einer inducirenden Kugelfunktion rotirende Hohlkugel darbieten würde, in folgender Weise beschreiben:
Beginnt die Selbstinduction merklich zu werden, so verändert sie die Form der Strömungscurven in den einzelnen Kugelschichten nicht, die letzteren aber beginnen sich scheinbar [22] zu drehen im Sinne der Rotation; dabei gehen die inneren Schichten den äusseren voraus. Die Drehung der inneren Schichten ist an keine Grenze gebunden, sondern kann ins Unendliche wachsen, der Drehungswinkel der äussersten Schicht convergirt gegen den Werth
nachdem er übrigens vorher bei Hohlkugeln diesen Werth überschritten haben kann. Ist die Drehungsgeschwindigkeit sehr gross, so liegen correspondirende Punkte verschiedener Schichten auf Archimedischen Spiralen, die Zahl der Windungen derselben in der Kugel wächst mit der Rotationsgeschwindigkeit ins Unendliche.
Die Intensität wächst Anfangs mit der Rotationsgeschwindigkeit, aber nirgends dieser proportional schneller in den äussern, als in den innern Schichten. In der äussersten Schicht wächst sie beständig, schliesslich wie
in allen andern erreicht sie bei einer gewissen Drehungsgeschwindigkeit ein Maximum, um dann wieder abzunehmen. Bei grossen
nimmt sie vom Rande gegen das Innere ab wie eine Exponentialfunktion, deren Exponent
enthält.
Von Interesse ist noch die Abhängigkeit der Erscheinung von der Ordnungszahl
(deren Quadratwurzel auch in
enthalten ist), ich verweise deshalb auf die Formeln.
Ein scheinbarer Widerspruch zwischen der Theorie einer
| unendlich dünnern Hohlkugel und der einer Hohlkugel von endlicher Dicke mag auffallen; derselbe löst sich leicht, wenn man beachtet, dass jede noch so dünne Hohlkugel nur bis zu einer gewissen Grösse der Rotationsgeschwindigkeit als unendlich dünn betrachtet werden darf.
Ich will noch kurz den Fall erledigen, dass die inducirenden Magnete im Innern der Hohlkugel liegen, dass also die [23] auftretenden Kugelfunktionen negativer Ordnung sind.
Es sei
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dann wird
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Setzen wir nun
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so wird die von
inducirte Funktion
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Dabei ist aber der Zusammenhang zwischen
und
ein etwas anderer, als früher; es ist nämlich gesetzt:
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Die Bedingung
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liefert wieder die Gleichungen:
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Unter Benutzung derselben Abkürzungen, wie früher werden dieselben:
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Differenzirt geben diese
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oder
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Setzt man
so folgen für die
die Gleichungen:
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also Gleichungen, welche wieder auf die
und
n führen.
Die Bestimmung der Constanten lässt sich dann ganz analog der früheren ausführen und es wird erhalten:
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Besonders einfach wird die Formel für den Fall, dass

ist, es sich also um einen kugelförmigen Hohlraum in einer unbegrenzten Masse handelt.
| Dann wird

und also wird
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Kann man
wegen des sehr kleinen Werthes von
gegen die Einheit vernachlässigen, so kann man für die
ihre Werthe für kleine Argumente (Seite 47) setzen und erhält dann:
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oder da wir die Grössen von der Ordnung
schon zum Theil vernachlässigt haben
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wie es sein muss.
Verschwindet andererseits die Einheit gegen
und ersetzt man demgemäss die
durch ihre Näherungswerthe für grosse Argumente (Seite 47), so erhält man
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Daraus ergeben sich ähnliche Erscheinungen, wie an der Vollkugel, die Drehung beträgt
an der innersten Schicht und wächst mit wachsendem
ins Unendliche.
Für
findet man
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welche Form der für die Vollkugel erhaltenen ganz analog ist.
Man erkennt übrigens, dass schon bei den kleinsten Drehungsgeschwindigkeiten im unbegrenzten Raum
so gross [24] gewählt werden kann, dass die gemachten Annäherungen zulässig sind, es wird daher auch schon bei den kleinsten
die Induction alle möglichen Winkel durchlaufen, allerdings in Entfernungen, in welchen die Intensität sehr klein ist.|[56]
Ich erinnere hier an die Bemerkung, welche wir schon auf Seite 30 betreffs der Vernachlässigung der Selbstinduction gemacht, haben.
Es würde ein Leichtes sein, die für Hohlkugeln gewonnenen Resultate auf ebene Platten von endlicher Dicke auszudehnen; um Weitläufigkeiten zu vermeiden, verzichte ich hierauf. Das Wesentliche der Erscheinung lässt sich übrigens ohne Rechnung aus dem Besprochenen abnehmen.
- ↑ Die Differentialgleichungen. WS: Die Randnotiz wurde als Fußnote übertragen.
- ↑ Satz, welcher die Grundlage des Folgenden bildet. WS: Die Randnotiz wurde als Fußnote übertragen.
- ↑ Beweis desselben. WS: Die Randnotiz wurde als Fußnote übertragen.
- ↑ Folgerungen. WS: Die Randnotiz wurde als Fußnote übertragen.
- ↑ Die Strömung geschieht immer in concentrischen Kugelschaalen. WS: Die Randnotiz wurde als Fußnote übertragen.
- ↑ Berechnung der successiven Induction. WS: Die Randnotiz wurde als Fußnote übertragen.
- ↑ Allgemeine Lösung. WS: Die Randnotiz wurde als Fußnote übertragen.
- ↑ Behandlung der Gleichungen für die
WS: Die Randnotiz wurde als Fußnote übertragen.
- ↑ Definition der
und
WS: Die Randnotiz wurde als Fußnote übertragen.
- ↑ a b Die letzten Glieder der Gleichungen werden durch Umformung der voranstellenden Integrale, vorzüglich durch partielle Integration erhalten.
- ↑ Integral- und Recursionsformeln der
und
WS: Die Randnotiz wurde als Fußnote übertragen.
- ↑ Lösung der Gleichung für
und
mittelst der
und
WS: Die Randnotiz wurde als Fußnote übertragen.
- ↑ Weitere Eigenschaften der
und
WS: Die Randnotiz wurde als Fußnote übertragen.
- ↑ Die ersten
WS: Die Randnotiz wurde als Fußnote übertragen.
- ↑ Die
und
für grosse und kleine Werthe des Arguments. WS: Die Randnotiz wurde als Fußnote übertragen.
- ↑ Definitive Form der Lösung. WS: Die Randnotiz wurde als Fußnote übertragen.
- ↑ Es werde fortan für
einfach
geschrieben, und ist also
- ↑ Anwendungen derselben. WS: Die Randnotiz wurde als Fußnote übertragen.
- ↑ Dünne Kugelschaalen. WS: Die Randnotiz wurde als Fußnote übertragen.
- ↑ Kleine Rotationsgeschwindigkeiten. WS: Die Randnotiz wurde als Fußnote übertragen.
- ↑ Grosse Rotationsgeschwindigkeiten. WS: Die Randnotiz wurde als Fußnote übertragen.
- ↑ Zusammenfassung des Resultats. WS: Die Randnotiz wurde als Fußnote übertragen.
- ↑ Fall, dass die Magnete im Innern der Hohlkugel liegen. WS: Die Randnotiz wurde als Fußnote übertragen.
- ↑ Zur Vernachlässigung der Selbstinduction. WS: Die Randnotiz wurde als Fußnote übertragen.