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	Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre

Fig. 40.

Erster Fall. Es sei

PQ $\scriptstyle \parallel$ AC

und

PR $\scriptstyle \parallel$ AC

eben so

PS $\scriptstyle \parallel$ AB

und

PT $\scriptstyle \parallel$ AB

ausserdem

AC $\scriptstyle \parallel$ BD.

Die gerade Linie, welche die parallelen Seiten halbirt, wird daher ein Durchmesser des Kegelschnittes sein und auch RQ halbiren. Es sei dieser Halbirungspunkt, also PO eine Ordinate in Bezug auf jenen Durchmesser als Abscissenaxe. Man verlängere PO bis K, so dass

OK = OP

werde; alsdann ist OK die Ordinate auf der entgegengesetzten Seite des Durchmessers. Da die Punkte

A, B, P, K

auf dem Umfang des Kegelschnittes liegen und PK die Seite AB unter einem gegebenen Winkel schneidet, so ist (nach Appollonius, Buch III., Satz 17., 19., 21. und 23.).

1.   $\scriptstyle {\frac {PQ\cdot QK}{AQ\cdot QB}}=Constans.$^[1]

Da aber

OP = OK

und

OR = OQ,

so ist

PR = KQ

und

PQ · QK = PQ · PR.

Da ferner

AQ = PS

und

QB = PT,

also

AQ · QB = PS · PT;

so steht das Rechteck PQ · PR zu dem PS · PT in einem gegebenen constanten Verhältniss.   W. Z. B. W.

Fig. 41.

Zweiter Fall. Es sei nicht AC $\scriptstyle \parallel$ BD, man ziehe aber

Bd $\scriptstyle \parallel$ AC,

ferner schneide Bd die Linie ST in t und den Kegelschnitt in d. Hierauf ziehe man Cd welche PQ in r schneidet, ferner

DM $\scriptstyle \parallel$ PQ,

1. No. 27. S. 89. Ist in einer Ellipse ein Halbmesser CB = a, sein ihm conjugirter Halbmesser CD = b, die Abscisse CL eines beliebigen Punktes H, in Bezug auf den ersten als Abscissenaxe = x, die zugehörige Ordinate HL = y, alsdann ist bekanntlich

   

   Fig. 235.

   1.   $\scriptstyle y^{2}={\frac {b^{2}}{a^{2}}}\left(a^{2}-x^{2}\right)$.

   Nun verlege man den Anfangspunkt der Coordinaten nach F, so dass CF = α sei; alsdann wird, wenn die Richtung der Coordinaten unverändert bleibt, die Abscisse FJ = CL = x, die Ordinate HJ = y¹ = y — α, und daher nach 1. die Gleichung in Bezug auf die neuen Coordinaten

   2.   $\scriptstyle \left(y^{1}+\alpha \right)^{2}={\frac {b^{2}}{a^{2}}}\left(a^{2}-x^{2}\right)$.

   Aus 1. und 2. folgt

     $\scriptstyle y^{1}+2\alpha y^{1}={\frac {b^{2}}{a^{2}}}\left(a^{2}-x^{2}\right)-\alpha ^{2}$.

   oder

   3.   $\scriptstyle y^{1}\left(y^{1}+2\alpha \right)={\frac {b^{2}}{a^{2}}}\left(a^{2}-x^{2}\right)-\alpha ^{2}$.

   Aus 3. folgt aber für y¹ = 0

   4.   $\scriptstyle x^{2}=EF^{2}=FG^{2}=\gamma ^{2}={\frac {a^{2}}{b^{2}}}\left(b^{2}-\alpha ^{2}\right)$

   und hieraus $\scriptstyle \alpha ^{2}={\frac {b^{2}}{a^{2}}}\left(a^{2}-\gamma ^{2}\right)$. Substituirt man diesen Werth von α² in Gl. 3., so ergiebt sich

   5.   $\scriptstyle y^{1}\left(y^{1}+2\alpha \right)={\frac {b^{2}}{a^{2}}}\left(\gamma ^{2}-x^{2}\right)={\frac {b^{2}}{a^{2}}}(\gamma +x)(\gamma -x)$.

   Da nun y¹ = HJ, γ + X = EJ, y¹ + 2α = JK, γ — x = JG, so wird $\scriptstyle {\frac {HJ\cdot JK}{EJ\cdot JG}}={\frac {b^{2}}{a^{2}}}={\mathsf {Constans}}$.

Empfohlene Zitierweise:
Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 89. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/97&oldid=- (Version vom 2.12.2022)