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	Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre

Zweiter Beweis. Auf der Linie PQ nehme man, auf der T entgegengesetzten Seite einen Punkt u so an, dass

Tu = Tv

und den Punkt V dergestalt an, dass

uV : vG = DC² : PC²

sei. Da nun nach der Lehre von den Kegelschnitten

Qv² : Pv · vG = DC² · PC²,

so wird

uV : vG = Qv² : Pv · vG

oder

Qv² = Pv · uV.

Addirt man zur letzten Gleichung auf beiden Seiten

uP · Pv = uP · Pv,

so wird

VP · Pv = PQ²^[1].

Demnach wird der Kreis, welcher den Kegelschnitt in P berührt, und durch Q geht, auch durch V gehen. Fallen nun P und Q zusammen, so geht das Verhältniss

uV : vG, welche = DC² : PC² ist,

über in

PV : PG oder PV : 2PC.

Wir erhalten demnach

PV : 2PC = DC² : CP²

und

$\scriptstyle PV={\frac {2DC^{2}}{PC}}$.

Die Kraft, vermöge welcher der Körper P sich in der Ellipse bewegt, ist daher (nach §. 21., Zusatz 3.) indirect

$\scriptstyle {\frac {2DC^{2}\cdot \ PF^{2}}{PC}}$^[2],

d. h. weil 2DC² · PF² constant ist,

PC

direct proportional.

Zusatz 1. Es ist daher die Kraft dem Abstande des Körpers vom Mittelpunkte der Ellipse proportional, und eben so wird, wenn die Kraft dem Abstände von ihrem Centrum proportional ist, der Körper sich auf einer Ellipse bewegen, deren Mittelpunkt mit dem Centrum der Kräfte identisch, oder vielleicht auf einem Kreise, in welchen die Ellipse übergehen kann.

Zusatz 2. Es werden die Umlaufszeiten aller um dasselbe Centrum beschriebenen Ellipsen einander gleich sein. Jene Zeiten sind nämlich bei ähnlichen Ellipsen gleich, nach §. 18., Zusatz 3. und 8. Bei Ellipsen aber, welche eine gemeinschaftliche grosse Axe haben, verhalten sich die Umlaufszeiten direct wie die ganzen Flächenräume und indirect wie gleichzeitig beschriebene Theile derselben, d. h. direct wie die kleinen Axen, und indirect wie die Geschwindigkeiten der Körper am Ende der grossen Axen, oder direct wie die kleinen Axen und indirect

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1. No. 14. S. 68. Es wird nämlich Qv² + uP · Pv = Pv (uV + uP) = vP · P · V. Ferner ist uP = PT + Tv; vP = PT – Tv also uP · vP = PT² – Tv² und Qv² + uP · Pv = Qv² – Tv² + PT² = QT² + PT² = PQ².
2. No. 15. S. 68. Wenn Q mit P zusammenfällt, wird PF mit dem Perpendikel von C auf die Tangente identisch.

Empfohlene Zitierweise:
Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 68. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/76&oldid=- (Version vom 1.8.2018)