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	Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre

Halbmesser SP gehörigen Kreise machte, einen Bogen beschreiben, dessen Länge sich zur Sehne AC des parabolischen Bogens verhielte, wie 1 : $\scriptstyle {\sqrt {2}}$ . Fiele er also aus der Höhe SP gegen die Sonne mit demselben Gewichte, welches die Schwere ihm in dieser Höhe gegen die Sonne beibringen kann; so würde er (nach §. 18., Zusatz 9. des ersten Buches) in der Hälfte der Zeit einen Weg zurücklegen, welcher dem Quadrat der halben Sehne, dividirt durch die vierfache Höhe SP, d. h. $\scriptstyle {\frac {AJ^{2}}{4SP}}$ gleich wäre.^[1] Da nun das Gewicht des Kometen gegen die Sonne in der Höhe SN sich zu seinem Gewichte in der Höhe SP verhält, wie PS² : SN² = SP : Sμ §. 57., Gl. 8.); so wird der Komet, vermöge des Gewichtes in der Höhe SN, während derselben Zeit einen Weg $\scriptstyle {\frac {AJ^{2}}{4S\mu }}$ = Jμ = Mμ zurücklegen. W. z. b. w.

§. 59. Aufgabe. Man soll durch drei Beobachtungen die Bahn eines Kometen in einer Parabel bestimmen.

Ich habe auf vielfach verschiedene Weise die Auflösung dieser sehr schwierigen Aufgabe versucht, und um hierzu gelangen zu können, die sich hierauf beziehenden Aufgaben des ersten Buches gelöst. Später aber fand ich die hier folgende Auflösung, welche ein wenig einfacher ist.

Es werden drei Beobachtungen ausgewählt, deren Zwischenzeiten, so weit es angeht, einander gleich seien; jedoch so, dass die Zwischen» zeit in dem Falle, wo der Komet sich langsamer bewegt, etwas grösser als die andere sei. Es verhalte sich z. B. der Unterschied dieser Zeiten zu ihrer Summe, wie die letztere zu etwa 600 Tagen, oder es falle der Punkt E (Figur 209.) nahe auf den Punkt M, und neige sich von da mehr nach J, als nach A hin. Hat man keine solche Beobachtungen, so muss man nach §. 52. einen neuen Kometenort bestimmen.

S bezeichne die Sonne, T, t, τ drei Oerter der Erde in ihrer grossen Bahn, TA, tB, τC drei beobachtete Längen des Kometen; V die zwischen der ersten und zweiten, W die zwischen der zweiten und dritten Beobachtung verflossene Zeit, X die gerade Linie, welche der Komet während dieser ganzen Zeit mit derjenigen Geschwindigkeit durchlaufen könnte, die er im mittleren Abstande der Erde von der Sonne hat und welche man nach §. 50., Zusatz 3. findet; endlich sei tV perpendikulär auf die Sehne Tτ.

In der mittleren beobachteten Länge tB nehme man den einen beliebigen Punkt B als den Ort des Kometen in der Ebene der Ekliptik an und ziehe nach der Sonne S die Linie BE, welche sich zum Pfeil tV verhält, wie SB · St² zum Cubus der Hypothenuse in einem rechtwinkeligen Dreieck, dessen Katheten BS und die Tangente der Breite des Kometen in der zweiten Beobachtung, für den Radius tB, sind. Durch den Punkt E ziehe man (nach §. 53.) die Linie AE und EC, deren durch die Linie TA und τC begrenzten Theile AE und EC sich zu einander verhalten, wie V : W. Alsdann werden A und C sehr nahe

↑ [650] No. 308. S. 472. Setzt man den kleinen Bogen im Kreise = b, Höhe SP = r, die Zeit = t und die der letztem entsprechende Fallhöhe = a; so ist a = $\scriptstyle {\frac {b^{2}}{2r}}$ t² und eben so die, der Zeit ½t entsprechende Fallhöhe a' = ¼ $\scriptstyle {\frac {b^{2}}{2r}}$ t². Es ist aber b : AC = 1 : $\scriptstyle {\sqrt {2}}$ , also b² = ½AC², also a' = ¼ · $\scriptstyle {\frac {{\frac {1}{4}}AC^{2}}{r}}$ t² = $\scriptstyle {\frac {AJ^{2}}{4SP}}$ · t² und für t = 1, a' = $\scriptstyle {\frac {AJ^{2}}{4SP}}$ .

Empfohlene Zitierweise:
Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 472. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/480&oldid=- (Version vom 1.8.2018)

[1] [650] No. 308. S. 472. Setzt man den kleinen Bogen im Kreise = b, Höhe SP = r, die Zeit = t und die der letztem entsprechende Fallhöhe = a; so ist a = $\scriptstyle {\frac {b^{2}}{2r}}$ t² und eben so die, der Zeit ½t entsprechende Fallhöhe a' = ¼ $\scriptstyle {\frac {b^{2}}{2r}}$ t². Es ist aber b : AC = 1 : $\scriptstyle {\sqrt {2}}$ , also b² = ½AC², also a' = ¼ · $\scriptstyle {\frac {{\frac {1}{4}}AC^{2}}{r}}$ t² = $\scriptstyle {\frac {AJ^{2}}{4SP}}$ · t² und für t = 1, a' = $\scriptstyle {\frac {AJ^{2}}{4SP}}$ .

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