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	Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre

in welcher er bei ruhendem Knoten würde durchlaufen worden sein. Folglich wird dieses Rechteck dem Decrement der Bewegung des Knotens entsprechen. Ist nun die Curve NeFn der Ort der Punkte e, so wird die ganze Fläche NeZ, welche der Summe aller Decremente gleich ist, dem ganzen Decrement während der zur Durchlaufung des Bogens NA erforderlichen Zeit entsprechen. Die übrig bleibende Fläche NAe wird der übrig bleibenden Bewegung entsprechen, welche die wahre Bewegung des Knotens während der Zeit ist, wo der ganze Bogen NA durch die vereinigten Bewegungen der Sonne und der Knoten beschrieben wird.^[1]

Wendet man nun die Methode der unendlichen Reihen an, so findet man, dass der Flächeninhalt des Halbkreises sich zu dem Inhalt der gesuchten Figur NeFn sehr nahe verhält, wie 793 : 60.^[2]

Da nun die, dem ganzen Kreise entsprechende, Bewegung = 19° 49′ 3″,9 war, so wird die, dem Doppelten der Figur NeFn, entsprechende, Bewegung = 1° 29′ 58″,0.

Subtrahirt man diese von der ersten Bewegung, so erhält man 18° 19′ 5″,9 für die ganze Bewegung des Knotens, in Bezug auf die Fixsterne und zwischen zweien seiner Conjunctionen mit der Sonne. Subtrahirt man hierauf diese Bewegung von der jährlichen Bewegung der Sonne, welche = 360° ist; so ergiebt sich die Bewegung der letzteren zwischen denselben beiden Conjunctionen = 341° 40′ 54″,1. Diese verhält sich zur jährlichen Bewegung von 360°, wie die vorher = 18° 19′ 5″,9 gefundene Bewegung des Knotens zur jährlichen Bewegung des letzteren. Diese wird folglich = 19° 18′ 1″,4, und dies ist die mittlere Bewegung der Knoten in einem siderischen Jahre. Für dieselbe hat man nach den astronomischen Tafeln 19° 21′ 21″,8, und der Unterschied, welcher wahrscheinlich von der Excentricität der Mondbahn und ihrer Neigung gegen die Ebene der Ekliptik herrührt, beträgt weniger als 1/300 der ganzen Bewegung.

Durch die Excentricität wird die Bewegung der Knoten etwas beschleunigt, durch die Neigung hingegen etwas verzögert, wodurch sie sehr nahe auf die richtige Grösse zurückkommt.

§. 37. Aufgabe. Man soll die wahre Bewegung der Mondsknoten finden.

Wird die Zeit durch die Fläche NTA – NdZ (Fig. 197.) ausgedrückt, so stellt die Fläche NAe die wahre Bewegung dar, welche man also durch Quadratur findet. Die Rechnung würde aber nach dieser Methode zu mühsam sein, und es ist daher besser, sich der folgenden Construction zu bedienen.

Aus dem Mittelpunkte C werde mit einem beliebigen Radius CD der Kreis BEFD beschrieben und CD so bis A verlängert, dass AB sich zu AC verhalte, wie die mittlere Bewegung zur Hälfte der wahren, wenn die Knoten sich in den Quadraturen befinden; also AB : AC = 19° 18′ 1″,4 : 19° 49′ 3″,9. Es wird daher hieraus BC : AC = 0° 31′ 2″,5 : 19°

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1. No. 260. S. 434. Wir haben im Text aZ : AZ = AZ² : α · AT² + AZ² = t⁽ⁿ⁾ t^(s), also auch aZ · ZY : AZ · ZY = t⁽ⁿ⁾ : t^(s) oder aZN : AZN = T⁽ⁿ⁾ : T^(s), wo T⁽ⁿ⁾ und T^(s) die Summen aller t⁽ⁿ⁾ und t^(s) bezeichnen. Es wird auch aZN · AZN – aZN = aZN : NAa = T⁽ⁿ⁾ : T^(s) – T⁽ⁿ⁾.
2. No. 261. S. 434. (Fig. 197.) Setzt man TZ = x, ZA = y, Za = y : TA = rα wie vorhin, α' = α + 1; so ist nach der frühern Proportion. (Bem. 260.) $\scriptstyle y'={\frac {y^{3}}{\alpha r^{2}+y^{2}}}$ aber y² = r² – x², also y' = $\scriptstyle {\frac {\left(r^{2}-x^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}{\alpha 'r^{2}-x^{2}}}$
   $\scriptstyle =\left[r^{3}-{\frac {3}{2}}rx^{2}+{\frac {3}{8}}\cdot {\frac {x^{4}}{r}}+{\frac {1}{16}}{\frac {x^{6}}{r^{3}}}+{\frac {1}{128}}\cdot {\frac {x^{8}}{r^{5}}}+{\frac {3}{256}}{\frac {x^{10}}{r^{7}}}\right.$
   $\scriptstyle \left.+{\frac {7}{1024}}\cdot {\frac {x^{12}}{r^{7}}}+{\frac {9}{2048}}\cdot {\frac {x^{14}}{r^{11}}}\dots \right]$
   $\scriptstyle \times \left[{\frac {1}{\alpha 'r^{2}}}+{\frac {x^{2}}{\alpha '^{2}r^{4}}}+{\frac {x^{4}}{\alpha '^{3}r^{6}}}+{\frac {x^{6}}{\alpha '^{4}r^{8}}}+{\frac {x^{8}}{\alpha '^{5}r^{10}}}+{\frac {x^{10}}{\alpha '^{6}r^{12}}}+{\frac {x^{12}}{\alpha '^{7}r^{14}}}+{\frac {x^{14}}{\alpha '^{8}r^{16}}}\dots \right]$

   $\scriptstyle ={\frac {r}{\alpha '}}-{\frac {3}{2\alpha '}}$ $\scriptstyle +{\frac {1}{\alpha ^{2}}}$

   $\scriptstyle {\frac {x^{2}}{r}}+{\frac {3}{8\alpha '}}$ $\scriptstyle -{\frac {3}{2\alpha '^{2}}}$ $\scriptstyle +{\frac {1}{\alpha '^{3}}}$

   $\scriptstyle {\frac {x^{4}}{r^{3}}}+{\frac {3}{16\alpha '}}$ $\scriptstyle +{\frac {3}{8\alpha '^{2}}}$ $\scriptstyle -{\frac {3}{2\alpha '^{3}}}$ $\scriptstyle +{\frac {1}{\alpha '^{4}}}$

   $\scriptstyle {\frac {x^{6}}{r^{5}}}+{\frac {3}{128\alpha '}}$ $\scriptstyle +{\frac {1}{16\alpha '^{2}}}$ $\scriptstyle +{\frac {3}{8\alpha '^{3}}}$ $\scriptstyle -{\frac {3}{2\alpha '^{4}}}$ $\scriptstyle +{\frac {1}{\alpha '^{5}}}$

   $\scriptstyle {\frac {x^{8}}{r^{7}}}$

   $\scriptstyle +{\frac {3}{256\alpha '}}$ $\scriptstyle +{\frac {3}{128\alpha '^{2}}}$ $\scriptstyle +{\frac {1}{16\alpha '^{3}}}$ $\scriptstyle +{\frac {3}{8\alpha '^{4}}}$ $\scriptstyle +{\frac {3}{2\alpha '^{5}}}$ $\scriptstyle -{\frac {3}{\alpha '^{6}}}$

   $\scriptstyle {\frac {x^{10}}{r^{9}}}+{\frac {7}{1024\alpha '}}$ $\scriptstyle +{\frac {3}{256\alpha '^{2}}}$ $\scriptstyle +{\frac {3}{128\alpha '^{3}}}$ $\scriptstyle +{\frac {1}{16\alpha '^{4}}}$ $\scriptstyle +{\frac {3}{8\alpha '^{5}}}$ $\scriptstyle -{\frac {3}{2\alpha '^{6}}}$ $\scriptstyle +{\frac {1}{\alpha '^{7}}}$

   $\scriptstyle {\frac {x^{12}}{r^{11}}}+{\frac {9}{2048\alpha '}}$ $\scriptstyle +{\frac {7}{1024\alpha '^{2}}}$ $\scriptstyle +{\frac {3}{256\alpha '^{3}}}$ $\scriptstyle +{\frac {3}{128\alpha '^{4}}}$ $\scriptstyle +{\frac {1}{16\alpha '^{5}}}$ $\scriptstyle -{\frac {3}{8\alpha '^{6}}}$ $\scriptstyle -{\frac {3}{2\alpha '^{7}}}$ $\scriptstyle +{\frac {1}{\alpha '^{8}}}$

   $\scriptstyle {\frac {x^{14}}{r^{13}}}$

   Hiernach wird

   $\scriptstyle \int \limits _{-r}^{+r}y'dx=r^{2}\left\{{\frac {1}{\alpha '}}\left[2-1+{\frac {3}{20}}+{\frac {1}{56}}+{\frac {1}{192}}+{\frac {3}{1408}}+{\frac {7}{6656}}+{\frac {3}{5120}}\right]\right.$
   $\scriptstyle +{\frac {1}{\alpha '^{2}}}\left[{\frac {2}{3}}-{\frac {3}{5}}+{\frac {3}{28}}+{\frac {1}{72}}+{\frac {3}{704}}\dots \right]+{\frac {1}{\alpha '^{3}}}\left[{\frac {2}{5}}-{\frac {3}{7}}+{\frac {1}{12}}\dots \right]$
   $\scriptstyle \left.+{\frac {1}{\alpha '^{4}}}\left[{\frac {2}{7}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {3}{44}}\dots \right]\right\}$ etc.
   $\scriptstyle =r^{2}\left[{\frac {1,17711}{\alpha '}}+{\frac {0,1917}{\alpha '^{2}}}+{\frac {0,054}{\alpha '^{3}}}\right]$ = 0,11869r².

   Der Halbkreis ist = ½r²π, mithin verhält sich NAn : NeFn = 1,57090 : 0,11869 = 794,1 : 60.

Empfohlene Zitierweise:
Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 434. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/442&oldid=- (Version vom 12.4.2021)