Seite:NewtonPrincipien.djvu/334

Dieser Text wurde anhand der angegebenen Quelle einmal korrekturgelesen. Die Schreibweise sollte dem Originaltext folgen. Es ist noch ein weiterer Korrekturdurchgang nötig.

	Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre

Alles dies erhellt aus §. 7., Zusatz 1. und 3. des zweiten Buches.

Zusatz 7. Wenn also die Kugel in der Zeit T, durch gleichförmige Fortsetzung des Widerstandes R, ihre ganze Bewegung M verlieren würde, so wird sie in der Zeit t im widerstehenden Mittel, durch den im doppelten Verhältniss der Geschwindigkeit abnehmenden Widerstand R, von ihrer Bewegung einen Theil $\scriptstyle {\frac {tM}{T+t}}$ verlieren und den Theil $\scriptstyle {\frac {TM}{T+t}}$ übrig behalten. Sie wird einen Weg beschreiben, welcher sich zu dem in derselben Zeit mit gleichförmiger Bewegung M beschriebenen Wege verhält, wie 2,302585092994 · log $\scriptstyle \left({\frac {T+t}{T}}\right):{\frac {t}{T}}$ ; weil nämlich BCFE zu BCGE in diesem Verhältniss steht.^[1]

§. 48. Anmerkung. In diesem Satze habe ich den Widerstand und die Verzögerung auseinandergesetzt, welche sphärische Projectile in nicht zusammenhängenden Mitteln erleiden und gezeigt, dass dieser Widerstand sich zu der Kraft, durch welche die ganze Bewegung des Projectils in der Zeit, während der die Kugel bei gleichförmig fortgesetzter Bewegung ⅔ ihres Durchmessers zurücklegen würde, entweder aufgehoben oder erzeugt werden könnte, verhält wie die Dichtigkeit des Mittels zur Dichtigkeit der Kugel. Hierbei findet die Voraussetzung statt, dass die Kugel und die Theilchen des Mittels höchst elastisch sind, und mit grösster Gewalt zurückgeworfen werden können. Ferner ist diese Kraft nur halb so gross, wenn die Kugel und die Theilchen des Mittels unendlich hart und von aller zurückwerfenden Kraft frei sind.

In coutinuirlichen Mitteln aber, wie im Wasser, warmen Oel und Quecksilber, in denen die Kugel nicht unmittelbar auf alle, Widerstand erzeugenden Theilchen der Flüssigkeit trifft, sondern selbst nur gegen die nächsten drückt, während diese wieder auf andere u. s. w. Druck ausüben, wird der Widerstand noch um das Doppelte kleiner sein. Die Kugel erleidet nämlich in sehr flüssigen Mitteln dieser Art einen Widerstand, welcher sich zu der Kraft verhält, durch die ihre ganze Bewegung während der Zeit, wo sie bei gleichförmig fortgesetzter Bewegung 8/3 ihres Durchmessers zurücklegen würde, aufgehoben oder erzeugt werden könnte, wie die Dichtigkeit des Mittels zur Dichtigkeit der Kugel. Dies wollen wir im Folgenden zu zeigen versuchen.

§. 49. Aufgabe. Man soll die Bewegung des Wassers finden, welches durch ein, im Boden eines cylinderförmigen Gefässes gemachtes, Loch fliesst.

Es sei ACDB das Gefäss, AB seine obere Oeffnung, CD der dem Horizont parallele Boden desselben, EF ein kreisfömiges Loch in diesem Boden, G der Mittelpunkt

↑ [611] No. 173. S. 326. Nach Zusatz 6. ist AB = T, BE = t, BC = M, mithin EF = $\scriptstyle {\frac {AB}{AE}}$ BC = $\scriptstyle {\frac {T}{T+t}}$ M, GF = BC — EF = $\scriptstyle {\frac {T}{T+t}}$ M. Ferner ist BGGE = BC · BE = Mt, BCFE = $\scriptstyle \int \limits _{AB}^{AE}$ EF · dAE = $\scriptstyle \int \limits _{T}^{t+T}MT{\frac {dt}{t}}=\log \left({\frac {T+t}{T}}\right)$ also BCFE : BCGE = log $\scriptstyle \left({\frac {T+t}{T}}\right):{\frac {t}{T}}$ . Dieser Logarithme ist ein hyperbolischer, daher muss der Briggsche Logarithme log $\scriptstyle \left({\frac {T+t}{T}}\right)$ durch die im Texte aufgeführte Zahl, d. h. das Reciproke des Modulus der Briggschen Logarithmen multiplicirt werden, um denselben in einen hyperbolischen zu verwandeln.

Empfohlene Zitierweise:
Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 326. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/334&oldid=- (Version vom 1.8.2018)

[1] [611] No. 173. S. 326. Nach Zusatz 6. ist AB = T, BE = t, BC = M, mithin EF = $\scriptstyle {\frac {AB}{AE}}$ BC = $\scriptstyle {\frac {T}{T+t}}$ M, GF = BC — EF = $\scriptstyle {\frac {T}{T+t}}$ M. Ferner ist BGGE = BC · BE = Mt, BCFE = $\scriptstyle \int \limits _{AB}^{AE}$ EF · dAE = $\scriptstyle \int \limits _{T}^{t+T}MT{\frac {dt}{t}}=\log \left({\frac {T+t}{T}}\right)$ also BCFE : BCGE = log $\scriptstyle \left({\frac {T+t}{T}}\right):{\frac {t}{T}}$ . Dieser Logarithme ist ein hyperbolischer, daher muss der Briggsche Logarithme log $\scriptstyle \left({\frac {T+t}{T}}\right)$ durch die im Texte aufgeführte Zahl, d. h. das Reciproke des Modulus der Briggschen Logarithmen multiplicirt werden, um denselben in einen hyperbolischen zu verwandeln.

[1]