und dem Unterschiede der Bogen Aa = CB — Ca sehr nahe das Verhältniss des Widerstandes zur Schwere finden.
Wäre der Widerstand DK etwa gleichförmig, so würde die Figur BKTa ein Rechteck unter Ba und DK, also
oder
sein. Da nun DK den Widerstand und die Länge des Pendels die Schwerkraft ausdrückt, so verhält sich der Widerstand zur Schwere, wie ½Aa zur Pendellänge; ganz wie im §. 38. bewiesen worden ist.
Ist der Widerstand der Geschwindigkeit proportional, so wird die Figur BKTa sehr nahe eine Ellipse. Wenn nämlich der Körper im nicht widerstehenden Mittel während einer ganzen Schwingung die Länge BA beschriebe, so würde die Geschwindigkeit im beliebigen Orte D der Ordinate DE proportional sein, welche zu dem über AB als Durchmesser beschriebenen Kreise gehört. Da ferner Ba im widerstehenden, und BA im nicht widerstehenden Mittel ungefähr in gleichen Zeiten beschrieben werden; da also die Geschwindigkeiten in den einzelnen Punkten von Ba sich sehr nahe zu den Geschwindigkeiten in den entsprechenden Punkten von BA verhalten, wie
so ist die Geschwindigkeit in D und im widerstehenden Mittel der Ordinate des Kreises oder der Ellipse, welche über BA als Durchmesser construirt ist, proportional.[1] Die Figur BKVTa ist daher sehr nahe eine halbe Ellipse. Da der Widerstand als der Geschwindigkeit proportional vorausgesetzt wird, so drücke OV den erstern im mittlern Punkte O aus, und es wird die halbe Ellipse BRVSa, welche man zu O als Mittelpunkt, und zu OB und OV als halben Axen beschreibt, sehr nahe der Figur aBKVT und dem ihr gleichen Rechteck Aa · BO gleich. Es verhält sich daher Aa · BO zu OV · BO, wie die Fläche dieser halben Ellipse zu OV · BO, d. h. beiläufig.
Es verhält sich daher 7/11Aa zur Pendellänge, wie der Widerstand des schwingenden Körpers in O zur Schwerkraft.[3]
Steht der Widerstand DK im doppelten Verhältniss der Geschwindigkeit, so wird die Figur BKVTa sehr nahe eine Parabel, deren Scheitel in V liegt und deren Axe OV ist;[4] es wird also
Demnach ist
oder
und der Widerstand des schwingenden Körpers im Punkt O zur Schwerkraft, wie ¾Aa zur Pendellänge.
Ich halte diese Schlüsse für hinreichend genau in der Praxis. Denn da die Ellipse oder Parabel im mittlern Punkte V mit der Figur BKVTa zusammentrifft, so wird diese, wenn sie an der einen von beiden Seiten BRV oder VSa jene überschreitet, auf der andern Seite von jener übertroffen und so derselben sehr nahe gleich werden.
- ↑ [607] No. 156. S. 305. Setzt man kurz die Geschwindigkeit DE im nicht widerstehenden Mittel = Y, die entsprechende Geschwindigkeit DK im widerstehenden Mittel = y; so hat man nahe bei y : Y = Ba : BA, oder y = Y und so BKVTa gleich einer Ellipse.
- ↑ [607] No. 157. S. 305. Da die Fläche der halben Ellipse = ½OV · BOπ, wo π die Ludolfsche Zahl, also genähert = ist; so wird
Aa · BO : OV · BO = ½OV · BO · π : OV · BO oder
Aa : OV = ½π : 1 = 11 : 7. - ↑ [607] No. 158. S. 305. Es wird nämlich 7/11Aa : CB = OV : CB, wo CB der Pendellänge gleich ist und die Schwerkraft ausdrückt, während OV den Widerstand in O bezeichnet.
- ↑ [607]
Fig. 250. No. 159. S. 305. Setzt man nämlich VO = x, VL = x', OB = y, KL = y'; so ist nach der Voraussetzung DK = c · DE² = c · DP · Da wo c eine Constante bezeichnet. Da nun DK = VO — VL = x — x'; DB = BO — KL = y — y' und da = aO + OD = y + y', so wird x — x' = c (y² — y'²) die Gleichung einer Parabel, da für x' = 0 und y' = 0 x = cy² wird.
Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 305. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/313&oldid=- (Version vom 1.8.2018)
