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	Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre

Bogen PQ und QB verhalten sich aber zu einander, wie die Geschwindigkeiten, mit denen sie beschrieben werden; also ist

4. PQ : PR =

\scriptstyle {\frac {1}{\sqrt {SP}}}:{\frac {1}{\sqrt {SQ}}}=QS:{\sqrt {SP\cdot SQ}}

.

Da

\scriptstyle \angle

SPQ = SQr und Fläche PSQ = QSr,

ist aber auch

5. PQ : Qr = QS : SP.^[1]

Durch Verbindung der beiden Proportionen 4. und 5. erhalten wir ferner

PQ : Qr — QR = QS : PS —

\scriptstyle {\sqrt {PS\cdot QS}}

oder

6. PQ : Rr = QS : ½VQ;

denn wenn die Punkte P und Q zusammenfallen, ist das letzte Verhältniss von

SP —

\scriptstyle {\sqrt {SP\cdot SQ}}

: ½QV

das der Gleichheit.^[2] Da das aus dem Widerstände des Mittels entspringende Decrement des Bogens PQ, d. h. ½Rr sich verhält, wie der Widerstand und das Quadrat der Zeit zusammengenommen; so ist der Widerstand (nach 2.) proportional

\scriptstyle {\frac {Rr}{PQ^{2}\cdot SP}}

.

Mittelst der Proportion 6. wird aber

7.

\scriptstyle {\frac {Rr}{PQ^{2}\cdot SP}}

proportional

\scriptstyle {\frac {{\frac {1}{2}}VQ}{SQ\cdot PQ\cdot SP}}={\frac {{\frac {1}{2}}OS}{OP\cdot SP^{2}}}

.

Fallen nämlich P und Q zusammen, so geschieht dasselbe mit SP und SQ und es wird

SQ = SP und

\scriptstyle \angle

PVQ = 90°,

und da ferner

Δ PVQ ∼ PSO^[3],

so wird

8. PQ : ½VQ = OP : ½OS.

Es ist demnach $\scriptstyle {\frac {OS}{OP\cdot PS^{2}}}$ dem Widerstände proportional, welcher letztere sich auch verhält, wie die Dichtigkeit des Mittels in P und das Quadrat der Geschwindigkeit zusammengesetzt. Nimmt man daher das letztere Verhältniss, oder (nach 3.) $\scriptstyle {\frac {1}{SP}}$ vom obigen Ausdruck 7. fort, so ergiebt sich die Dichtigkeit des Mittels in P proportional

9.

\scriptstyle {\frac {OS}{OP\cdot SP}}

Ist die Spirallinie gegeben, so kennt man auch das Verhältniss

OS : OP,

und es verhält sich die Dichtigkeit des Mittels in P wie

10.

\scriptstyle {\frac {1}{SP}}

.

In einem Mittel, dessen Dichtigkeit dem Abstände SP vom Centrum umgekehrt proportional ist, kann sich daher der Körper längs dieser Spirallinie bewegen. W. z. b. w.

Zusatz 1. Die Geschwindigkeit in jedem Orte P ist stets diejenige, mit welcher der Körper im nicht widerstehenden Mittel auf einem Kreise zum Radius SP bei derselben Centripetalkraft sich bewegen kann.^[4]

↑ [602] No. 133. S. 277. Bezeichnet man die gleichen Winkel durch α, so wird, in so fern man die kleinen Bogen PQ und Qr als gerade Linien behandeln darf, PSQ = ½PS · PQ sin α, QSr = ½QS · Qr sin α und daher, weil PSQ = QSr, PQ : Qr = QS : PS.
↑ [602] No. 134. S. 277. (Fig. 161.) Es ist SV — SQ = VQ, also SP = SQ + VQ, wo VQ desto klein er wird, je näher P und Q einander kommen. Demnach wird SP — $\scriptstyle {\sqrt {SP\cdot SQ}}$ = SQ + VQ — $\scriptstyle {\sqrt {SQ^{2}+SQ\cdot VQ}}$ = $\scriptstyle SQ+VQ-\left[SQ+{\frac {1}{2}}{\frac {SQ\cdot VQ}{SQ}}-{\frac {1}{8}}{\frac {SQ^{2}\cdot VQ^{2}}{SQ^{3}}}\right]$ = ½ VQ + 1/8 $\scriptstyle {\frac {VQ^{2}}{SQ}}$
Je kleiner nun VQ wird, desto mehr wird man die folgenden, höhere Potenzen von VQ enthaltenden, Glieder gegen das erste vernachlässigen können, und wir erhalten daher den Grenzwerth von SP — $\scriptstyle {\sqrt {SP\cdot SQ}}$ = ½VQ.
↑ [602] No. 135. S. 277. Diese Aehnlichkeit dürfte folgendermaassen zu erläutern sein. Da SV = SP, so ist $\scriptstyle \angle$ SVP = SPV. [603] Je näher nun Q an P rückt, desto kleiner wird der Winkel PSQ, und im Fall dieser verschwindend klein geworden ist, wird $\scriptstyle \angle$ SVP = SPV = 90°, also 1. $\scriptstyle \angle$ PVQ = PSO.
Ferner ist im letztern Falle $\scriptstyle \angle$ SPV = QPO = 90°, und zieht man hiervon ab $\scriptstyle \angle$ SPQ = SPQ, so bleibt 2. $\scriptstyle \angle$ QPV = OPS.
Es sind daher in den Dreiecken VPQ und OPS zwei Winkel einander gleich, mithin auch $\scriptstyle \angle$ POS = PQV = SVQ.
↑ [603] No. 136. S. 277. Siehe erstes Buch, § 18, Zusatz 1.

Empfohlene Zitierweise:
Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 277. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/285&oldid=- (Version vom 12.5.2018)

[1] [602] No. 133. S. 277. Bezeichnet man die gleichen Winkel durch α, so wird, in so fern man die kleinen Bogen PQ und Qr als gerade Linien behandeln darf, PSQ = ½PS · PQ sin α, QSr = ½QS · Qr sin α und daher, weil PSQ = QSr, PQ : Qr = QS : PS.

[2] [602] No. 134. S. 277. (Fig. 161.) Es ist SV — SQ = VQ, also SP = SQ + VQ, wo VQ desto klein er wird, je näher P und Q einander kommen. Demnach wird SP — $\scriptstyle {\sqrt {SP\cdot SQ}}$ = SQ + VQ — $\scriptstyle {\sqrt {SQ^{2}+SQ\cdot VQ}}$ = $\scriptstyle SQ+VQ-\left[SQ+{\frac {1}{2}}{\frac {SQ\cdot VQ}{SQ}}-{\frac {1}{8}}{\frac {SQ^{2}\cdot VQ^{2}}{SQ^{3}}}\right]$ = ½ VQ + 1/8 $\scriptstyle {\frac {VQ^{2}}{SQ}}$
Je kleiner nun VQ wird, desto mehr wird man die folgenden, höhere Potenzen von VQ enthaltenden, Glieder gegen das erste vernachlässigen können, und wir erhalten daher den Grenzwerth von SP — $\scriptstyle {\sqrt {SP\cdot SQ}}$ = ½VQ.

[3] [602] No. 135. S. 277. Diese Aehnlichkeit dürfte folgendermaassen zu erläutern sein. Da SV = SP, so ist $\scriptstyle \angle$ SVP = SPV. [603] Je näher nun Q an P rückt, desto kleiner wird der Winkel PSQ, und im Fall dieser verschwindend klein geworden ist, wird $\scriptstyle \angle$ SVP = SPV = 90°, also 1. $\scriptstyle \angle$ PVQ = PSO.
Ferner ist im letztern Falle $\scriptstyle \angle$ SPV = QPO = 90°, und zieht man hiervon ab $\scriptstyle \angle$ SPQ = SPQ, so bleibt 2. $\scriptstyle \angle$ QPV = OPS.
Es sind daher in den Dreiecken VPQ und OPS zwei Winkel einander gleich, mithin auch $\scriptstyle \angle$ POS = PQV = SVQ.

[4] [603] No. 136. S. 277. Siehe erstes Buch, § 18, Zusatz 1.

[1]

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[4]