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	Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre

so bleiben die Linien AH, AJ und HX unverändert. Sind dieselben daher in irgend einem Falle gefunden, so kann man für jeden gegebenen Winkel NAH leicht die Hyperbel construiren.

Regel 2. Wird so wohl der Winkel NAH, als auch die Dichtigkeit des Mittels in A beibehalten, die Geschwindigkeit aber, mit welcher der Körper geworfen wird, geändert; so bleibt die Linie AH unverändert, die Linie AJ ändert sich aber im umgekehrten doppelten Verhältniss, in welchem die Geschwindigkeit sich verändert.^[1]

Regel 3. Bleibt der Winkel NAH, die Geschwindigkeit des Körpers in A und die beschleunigende Kraft der Schwere unverändert; wird aber das Verhältniss des Widerstandes in A zur Schwere in irgend einem Grade vergrössert; so wächst in demselben Grade das Verhältniss

AH : AJ,

wobei der Parameter oder die ihm proportionale Linie

$\scriptstyle {\frac {AH^{2}}{AJ}}$

unverändert bleibt. Daher nimmt AH in demselben, AJ in dem doppelten Verhältniss ab. Das Verhältniss des Widerstandes zum Gewicht nimmt aber zu, wenn entweder das specifische Gewicht bei gleichem Volumen kleiner, oder die Dichtigkeit des Mittels grösser, oder der Widerstand bei vermindertem Volumen in einem kleineren Verhältniss abnimmt, als das Gewicht

Regel 4. Da die Dichtigkeit des Mittels in der Nähe des Scheitels grösser ist, als in A, so muss man, um eine mittlere Dichtigkeit zu erhalten, das Verhältniss der kleinsten Tangente GT zur Tangente AH bestimmen und die Dichtigkeit in A nach Regel 3. vermehren in einem Verhältniss, welches um ein wenig grösser ist, als das der halben Summe der Tangenten zur kleinsten Tangente GT.^[2]

Regel 5. Sind die Linien AH und AJ gegeben und soll man die Figur AGK beschreiben, so verlängere man HN bis X, dergestalt, dass

HX = (n + 1) AJ

werde. Hierauf beschreibe man zum Mittelpunkte X und den Asymptoten MX und NX eine Hyperbel, welche durch den Punkt A geht, und zwar mit dem Gesetze, dass

AJ : VG = XVⁿ : XJ^n[3]

sei.

Regel 6. Je grösser die Zahl n ist, desto genauer sind diese Hyperbeln beim Aufsteigen des Körpers von A, und desto ungenauer bei seinem Absteigen bis K, und umgekehrt. Die conische Hyperbel hält die Mitte, und ist einfacher als die übrigen. Ist daher die Curve von dieser Art, und sucht man den Punkt K, in welchem das Projectil die beliebige gerade, durch den Punkt A gehende Linie AB trifft; so mache man, wenn AB die Asymptoten MX und NX in M und N schneidet,

NK = AM.

Regel 7. Hieraus ergiebt sieh eine einfache Methode, diese Hyperbel

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1. No. 121. S. 262. Bezeichnet man die Geschwindigkeit durch V, so ist V proportional $\scriptstyle {\sqrt {\frac {AH^{2}}{AJ}}}$; also weil AH constant ist, AJ proportional $\scriptstyle {\frac {1}{V^{2}}}$
2. No. 122. S. 262. Die Dichtigkeit in A ist proportional $\scriptstyle {\frac {1}{AH}}$, die in G proportional $\scriptstyle {\frac {1}{GT}}$, die mittlere Dichtigkeit also proportional $\scriptstyle {\frac {1}{2}}\left[{\frac {1}{AH}}+{\frac {1}{GT}}\right]={\frac {{\frac {1}{2}}[AH+GT]}{AH\cdot GT}}$; und so die Dichtigkeit in A zur mittleren wie $\scriptstyle {\frac {1}{AH}}:{\frac {{\frac {1}{2}}(AH+GT)}{AH\cdot GT}}$ = GT : ½(AH + GT).
3. No. 123. S. 262. Setzt man XY = y, AJ = x, so hat man die Gleichung der Hyperbel xyⁿ = Constans; mithin wird $\scriptstyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {y}{nx}}$, die Subtangente = + nx und HX = x + Subtangente = (n + 1) x = (n + 1) AJ.

Empfohlene Zitierweise:
Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 262. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/270&oldid=- (Version vom 1.8.2018)