§. 9. Lehrsatz. Sphärische Körper, welche einen Widerstand erleiden, der im doppelten Verhältniss der Geschwindigkeit steht, verlieren in Zeiten, die sich direct wie die Anfangsbewegung und indirect wie der anfängliche Widerstand verhalten, von ihren Bewegungen Theile, die den ganzen proportional sind und beschreiben Wege, welche sich zusammengesetzt wie jene Zeiten und die Anfangsgeschwindigkeit verhalten.
Die verlorenen Theile der Bewegung verhalten sich nämlich, wie die Widerstände und die Zeiten zusammengesetzt. Damit nun die ersteren der ganzen Bewegung proportional seien, muss Widerstand und Zeit vereint der Bewegung proportional sein, es verhält sich also die Zeit direct wie die Bewegung und indirect wie der Widerstand. Nimmt man daher die einzelnen Zeittheilchen in eben diesem Verhältniss an, so verlieren die Körper von ihrer Bewegung Theilchen, die der ganzen proportional sind und behalten die Geschwindigkeit im ersten Verhältniss bei. Wegen des gegebenen constanten Verhältnisses der Geschwindigkeiten beschreiben sie daher stets Wege, welche sich wie die Anfangsgeschwindigkeit und die Zeiten zusammengesetzt verhalten.[1] W. z. b. w.
Zusatz 1. Erleiden daher gleichgeschwinde Körper einen Widerstand, welcher im doppelten Verhältniss ihrer Durchmesser steht, so werden homogene Kugeln, welche sich mit beliebigen Geschwindigkeiten bewegen, Wege beschreiben, die ihren Durchmessern proportional sind, und Theile der Bewegung verlieren, welche sich wie die letztere verhalten.
Die Bewegung einer jeden Kugel verhält sich nämlich wie ihre Geschwindigkeit und ihre Masse zusammengenommen, d. h. wie ihre Geschwindigkeit und der Cubus des Durchmessers. Der Widerstand verhält sich (nach der Voraussetzung) wie das Quadrat des Durchmessers und das Quadrat der Geschwindigkeit zusammengesetzt; endlich die Zeit (nach diesem Lehrsatz) direct wie die Bewegung und indirect wie der Widerstand, d. h. direct wie der Durchmesser und indirect wie die Geschwindigkeit. Mithin verhält sich der Weg, welcher der Zeit und Geschwindigkeit zusammengesetzt proportional ist, wie der Durchmesser.[2]
Zusatz 2. Erleiden gleichgeschwinde Körper einen Widerstand, der im 3/2ten Verhältniss der Durchmesser steht, so beschreiben homogene Kugeln, welche sich mit beliebigen Geschwindigkeiten bewegen, Wege, die im 3/2ten Verhältniss der Durchmesser stehen, und verlieren von ihrer Bewegung Theile, welche der ganzen Bewegung proportional sind.
Die Zeit wächst nämlich in demselben Verhältniss, in welchem der Widerstand abnimmt und der Weg ist der Zeit proportional.[3]
Zusatz 3. Erleiden allgemein gleichschnelle Körper einen Widerstand, der irgend einer Potenz der Durchmesser proportional ist; so verhalten sich die Wege, auf denen homogene mit beliebigen Geschwindigkeiten
- ↑ [597] No. 97. S. 242. Bezeichnet man die anfängliche Bewegung durch M, die Zeit durch T, den während der letzteren verlorenen Theil der Bewegung durch μ, die Zeittheilchen durch τ', τ", τ'" etc., die ihnen entsprechenden Verluste der Bewegung durch μ', μ", μ"' etc., den Widerstand durch R, und sind a, b, c, d, f etc. constante Grössen, so hat man μ = aRT, und damit μ = bM sei, muss RT = cM sein, mithin T = c · . Demnach wenn τ' = c · ; μ' = aRτ' = f · M und auch M — μ = (1 — b) M = f · M, proportional M. Sind ferner V und v die Geschwindigkeiten beider Körper, T und t ihre Zeiten, S und s ihre Wege, M und m ihre Bewegungen; so hat man S : s = V · T : vt und da V : v = M : m auch S : s = MT : mt.
- ↑ [597] No. 98. S. 242. Zur vorhergehenden Bezeichnung komme C als Masse und D als Durchmesser, alsdann ist M = a · VC = bVD³, R = cD² · V², T = d · = f · , S = gV · T = hD.
- ↑ [597] No. 99. S. 242. Bei der vorhergehenden Bezeichnung ist hier R = aD3/2 ·V², T = b · , S = cVT = cV · b . = dV · = h · D3/2.
Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 242. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/250&oldid=- (Version vom 1.8.2018)
