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	Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre

Fläche AKkB ausgedrückt, so werden alle folgenden Geschwindigkeiten durch die Linien

Ll, Mm, etc.

und die beschriebenen Wege durch die Flächen

KLlk, LMml, etc.

ausgedrückt werden. Setzt man dies zusammen und drückt die ganze Zeit durch die Summe AM ihrer Theile aus, so wird der ganze Weg durch die Summe AMmB seiner Theile bezeichnet werden.

Denkt man sich nun die Zeit AM so in die Theile

AK, KL, LM, etc.

zerlegt, dass

CA, CK, CL, CM, etc.

in geometrischer Progression stehen, so bilden jene dieselbe Progression; ferner bilden die Geschwindigkeiten

AB, Kk, Ll, Mm, etc.

dieselbe Reihe aber umgekehrt, endlich werden die Räume

AKkB, KLlk, LMml, etc.

einander gleich. W. z. b. w.^[1]

Zusatz 1. Wird also die Zeit durch einen beliebigen Theil AD der Asymptote, und die Geschwindigkeit im Anfange dieser Zeit durch die Ordinate AB ausgedrückt; so wird die Geschwindigkeit am Ende dieser Zeit durch die Ordinate GD und der ganze beschriebene Weg durch den anliegenden hyperbolischen Flächenraum ABGD dargestellt. Ferner stellt das Rechteck

AB · AD

den Weg dar, welchen ein Körper in derselben Zeit AD, mit der Anfangsgeschwindigkeit AB im nicht widerstehenden Mittel beschreiben könnte.

Zusatz 2. Man erhält also den im widerstehenden Mittel beschriebenen Weg, indem man ihn zu dem, mit gleichförmiger Geschwindigkeit AB und im nicht widerstehenden Mittel beschriebenen Wege in dem Verhältnisse

ABFD : AB · AD

setzt.

Zusatz 3. Man erhält auch den Widerstand des Mittels, indem man annimmt, derselbe sei im Anfange der Bewegung einer gleichförmigen Centripetalkraft gleich, welche beim Falle des Körpers im nicht widerstehenden Mittel, in der Zeit AC die Geschwindigkeit AB erzeugen könnte. Zieht man nämlich die Linie BT, welche die Hyperbel in B berührt und die Asymptote in T schneidet, so wird

AT = AC,^[2]

und die erstere Linie drückt die Zeit aus, in welcher der erste, gleichförmig fortgesetzte Widerstand die ganze Geschwindigkeit AB aufheben könnte.

Zusatz 4. Hieraus ergiebt sich auch das Verhältniss dieses

↑ [596] No. 94. S. 210. Aus der Gleichung der Hyperbel yx = c folgt, wenn die auf einander folgenden Werthe von x x, ax, a²x, a³x etc. sind, dass die entsprechenden Werthe von y werden: $\scriptstyle {\frac {c}{x}},\ {\frac {c}{ax}},\ {\frac {c}{a{^{2}}x}},\ {\frac {c}{a{^{3}}x}}$ , etc.
Die erstern Werthe stehen daher in dem fortlaufenden Verhältniss 1 : a : a² : a³ : etc., die letzteren in dem umgekehrten:
1 : $\scriptstyle {\frac {1}{a}}:{\frac {1}{a^{2}}}:{\frac {1}{a^{3}}}$ : etc. Ferner hat man (Fig. 139.)
AKkB = $\scriptstyle \int \limits _{x}^{ax}$ ydx = c[log ax— log x] = c log a KLtk = $\scriptstyle \int \limits _{ax}^{a^{2}x}$ ydx = c[log a²x — log ax] = c log a etc.
also
AKkB = KLtk = etc.
↑ [597] No. 95. S. 240. Aus y = $\scriptstyle {\frac {c}{x}}$ folgt $\scriptstyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {c}{x^{2}}}$ und daher AT = Subtg. = y : $\scriptstyle {\frac {dy}{dx}}$ = — x = CA.

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Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 240. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/248&oldid=- (Version vom 1.8.2018)

[1] [596] No. 94. S. 210. Aus der Gleichung der Hyperbel yx = c folgt, wenn die auf einander folgenden Werthe von x x, ax, a²x, a³x etc. sind, dass die entsprechenden Werthe von y werden: $\scriptstyle {\frac {c}{x}},\ {\frac {c}{ax}},\ {\frac {c}{a{^{2}}x}},\ {\frac {c}{a{^{3}}x}}$ , etc.
Die erstern Werthe stehen daher in dem fortlaufenden Verhältniss 1 : a : a² : a³ : etc., die letzteren in dem umgekehrten:
1 : $\scriptstyle {\frac {1}{a}}:{\frac {1}{a^{2}}}:{\frac {1}{a^{3}}}$ : etc. Ferner hat man (Fig. 139.)
AKkB = $\scriptstyle \int \limits _{x}^{ax}$ ydx = c[log ax— log x] = c log a KLtk = $\scriptstyle \int \limits _{ax}^{a^{2}x}$ ydx = c[log a²x — log ax] = c log a etc.
also
AKkB = KLtk = etc.

[2] [597] No. 95. S. 240. Aus y = $\scriptstyle {\frac {c}{x}}$ folgt $\scriptstyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {c}{x^{2}}}$ und daher AT = Subtg. = y : $\scriptstyle {\frac {dy}{dx}}$ = — x = CA.

[1]

[2]