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	Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre

stattfindet. Sucht man umgekehrt das Gesetz der Anziehung, welche gegen eine Ebene längs auf sie perpendikulärer Linien stattfindet, unter der Bedingung, dass der Körper sich auf einer gegebenen Curve bewege; so wird die Aufgabe nach dem Muster des §. 28. gelöst.

Die Operationen pflegen aber abgekürzt zu werden, wenn man die Ordinaten in convergirende Reihen auflöst. Zur Abscisse A gehöre unter einem beliebigen Coordinatenwinkel die Ordinate B, welche der beliebigen Potenz

$\scriptstyle A^{\frac {m}{n}}$

der Abscisse proportional ist. Man sucht die Kraft, vermöge welcher der Körper, je nach der Lage der Ordinate gegen die Abscisse hingezogen oder von ihr fortgestossen, sich auf einer Curve bewegen könne, in welcher das obere Ende der Ordinate beständig liegt. Gesetzt, die Abscisse werde um ein sehr kleines Stück vergrössert; alsdann löse man die entsprechende Ordinate

$\scriptstyle (A+O)^{\frac {m}{n}}$

in die Reihe

$\scriptstyle A^{\frac {m}{n}}+{\frac {m}{n}}A^{\frac {m-n}{n}}\cdot O+{\frac {mm-mn}{2nn}}A^{\frac {m-2n}{n}}\cdot O^{2}$ + etc.

auf und setze dasjenige Glied, welches O² enthält, d. h.

$\scriptstyle {\frac {m^{2}-mn}{2nn}}A^{\frac {m-2n}{n}}\cdot O^{2}$

der Kraft proportional. Die gesuchte Kraft verhält sich also, wie

$\scriptstyle {\frac {mm-mn}{2nn}}A^{\frac {m-2n}{n}}={\frac {mm-mn}{2nn}}B^{\frac {m-2n}{m}}$.

Bezieht sich etwa die Ordinate auf eine Parabel, so ist

m = 2, n = 1

und es verhält sich die Kraft, wie

2B^O,

sie ist also constant^[1]. Ist daher die Kraft constant, so bewegt sich der Körper in einer Parabel, wie Galilei bewiesen hat.

Bezieht sich ferner die Ordinate auf eine Hyperbel, wo

m = — 1, n = 1;

so verhält sich die Kraft wie

2B^-3 = $\scriptstyle {\frac {2}{B^{3}}}$.^[2]

Der Körper bewegt sich demnach vermöge einer Kraft, welche dem Cubus der Ordinate umgekehrt proportional ist, in einer Hyperbel.

Indem ich Sätze dieser Art verlasse, gehe ich zu andern Sätzen der Bewegung über, welche roch nicht berührt worden sind.

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1. 

   Fig. 242.

   No. 76. S. 221. Es sei x² = py, also y = $\scriptstyle {\frac {x^{2}}{p}}$; alsdann wird $\scriptstyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {2}{p}}x$ und $\scriptstyle {\frac {ddy}{dx^{2}}}={\frac {2}{p}}$ = Constans, und es drückt $\scriptstyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$ die Kraft aus, welche den Körper längs der Linie y anzieht.

2. 

   Fig. 243.

   No. 77. S. 221. Die Gleichung der Hyperbel in Beziehung auf die Asymptoten ist y = $\scriptstyle {\frac {p}{x}}$ und hieraus $\scriptstyle {\frac {ddy}{dx^{2}}}={\frac {2p}{x^{3}}}$, also nach der Bezeichnung im Texte die Kraft proportional $\scriptstyle {\frac {2p}{A^{3}}}$. Derselbe Werth ergiebt sich, wenn man die Werthe m = — 1 und n = 1 in $\scriptstyle {\frac {m^{2}-mn}{2nn}}A^{\frac {mn-2n}{n}}$ substituirt. Hingegen würde aus der Substitution derselben Werthe von m und n in $\scriptstyle {\frac {mm-mn}{2nn}}B^{\frac {mn-2n}{m}}$ der Werth B³ hervorgehen. Hiernach müsste, wenn ich nicht irre, der Schluss der Anmerkung im Texte geändert werden.

Empfohlene Zitierweise:
Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 221. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/229&oldid=- (Version vom 1.8.2018)