Werden die drei Theile dieses Abdruckes über die Länge AB fortgeführt, so erzeugt der erste
L S ⋅ S J L D {\displaystyle \scriptstyle {\frac {LS\cdot SJ}{LD}}}
eine hyperbolische Fläche.[1]
Der zweite Theil
½JS
erzeugt das Rechteck
½AB · JS;
der dritte Theil
L A ⋅ L B ⋅ S J 2 L D 2 {\displaystyle \scriptstyle {\frac {LA\cdot LB\cdot SJ}{2LD^{2}}}}
bringt die Fläche
A L ⋅ L B ⋅ J S 2 ⋅ L A − A L ⋅ L B ⋅ J S 2 L B {\displaystyle \scriptstyle {\frac {AL\cdot LB\cdot JS}{2\cdot LA}}-{\frac {AL\cdot LB\cdot JS}{2LB}}} [2] = ½(LB — LA) JS = ½AB · JS.
hervor.
Von der ersten Fläche subtrahire man die Summe der zweiten und dritten Fläche, welche Summe
= AB · JS = 2 · AS · JS
Fig. 115. wird; alsdann stellt der Rest die gesuchte Flache ABNA dar. Hiernach ergiebt sich auch folgende Construction der Aufgabe. In den Punkten L, A, S, B errichte man die Perpendikel
Ll, Aa, Ss = JS, Bb
und ziehe durch s zu den Asymptoten LI und LB die Hyperbel asb, welche die Perpendikel Aa und Bb in a und b schneidet. Subtrahirt man nun von der hyperbolischen Fläche Aa sb B das Rechteck 2 · AS · JS, so bleibt die gesuchte Fläche ABNA übrig.
Drittes Beispiel . Nimmt die nach den einzelnen Theilen der Kugel gerichtete Centripetalkraft im vierfachen Verhältniss der Abstände ab, so setze man
V = P E 4 2 ⋅ A S 3 {\displaystyle \scriptstyle {\frac {PE^{4}}{2\cdot AS^{3}}}} ,
worauf man, indem
PE = 2 ⋅ P S ⋅ L D {\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2\cdot PS\cdot LD}}}
gesetzt wird, für DN das Verhältniss
L S ⋅ J S 3 2 2 ⋅ L D 3 2 − J S 3 2 2 2 ⋅ L D 1 2 − L A ⋅ L B ⋅ J S 3 2 2 2 ⋅ L D 3 2 {\displaystyle \scriptstyle {\frac {LS\cdot JS^{\frac {3}{2}}}{{\sqrt {2}}\cdot LD^{\frac {3}{2}}}}-{\frac {JS^{\frac {3}{2}}}{2{\sqrt {2}}\cdot LD^{\frac {1}{2}}}}-{\frac {LA\cdot LB\cdot JS^{\frac {3}{2}}}{2{\sqrt {2}}\cdot LD^{\frac {3}{2}}}}}
erhält. Führt man die drei Theile desselben über die Länge AB fort, so erhält man für sie respective folgende Flächenräume:
2 ⋅ L S ⋅ J S 3 2 L A 1 2 − 2 ⋅ L S ⋅ J S 3 2 L B 1 2 {\displaystyle \scriptstyle {\frac {{\sqrt {2}}\cdot LS\cdot JS^{\frac {3}{2}}}{LA^{\frac {1}{2}}}}-{\frac {{\sqrt {2}}\cdot LS\cdot JS^{\frac {3}{2}}}{LB^{\frac {1}{2}}}}} , L B 1 2 ⋅ J S 3 2 − L A 1 2 ⋅ J S 3 2 2 {\displaystyle \scriptstyle {\frac {LB^{\frac {1}{2}}\cdot JS^{\frac {3}{2}}-LA^{\frac {1}{2}}\cdot JS^{\frac {3}{2}}}{\sqrt {2}}}} , L A ⋅ S B ⋅ J S 3 2 3 2 L A 3 2 {\displaystyle \scriptstyle {\frac {LA\cdot SB\cdot JS^{\frac {3}{2}}}{3{\sqrt {2}}LA^{\frac {3}{2}}}}}
− L A ⋅ S B ⋅ J S 3 2 3 2 L B 3 2 {\displaystyle \scriptstyle -{\frac {LA\cdot SB\cdot JS^{\frac {3}{2}}}{3{\sqrt {2}}LB^{\frac {3}{2}}}}} [3] .
↑ [589 ] No. 59 . S. 206 . Dies ergiebt sich unmittelbar wie im ersten Beispiel.
↑ [589 ] No. 60 . S. 206 . Setzt man LD = x, so wird die zu findende Fläche bestimmt durch A L ⋅ L B ⋅ J S 2 ∫ L A L B d x x 2 = A L ⋅ L B ⋅ J S 2 [ − 1 L B − ( − 1 L A ) ] = A L ⋅ L B ⋅ J S 2 ⋅ A L − A L ⋅ L B ⋅ J S 2 ⋅ L B {\displaystyle \scriptstyle {\frac {AL\cdot LB\cdot JS}{2}}\int \limits _{LA}^{LB}{\frac {dx}{x^{2}}}={\frac {AL\cdot LB\cdot JS}{2}}\left[-{\frac {1}{LB}}-\left(-{\frac {1}{LA}}\right)\right]={\frac {AL\cdot LB\cdot JS}{2\cdot AL}}-{\frac {AL\cdot LB\cdot JS}{2\cdot LB}}} .
↑ [589 ] No. 61 . S. 206 . Setzt man nämlich wieder LD = x, so erhält man nach der Reihe: L S ⋅ J S 3 2 2 ∫ L A L B d x x 3 2 = L S ⋅ J S 3 2 2 [ − 2 ⋅ L B − 1 2 + 2 ⋅ L A − 1 2 ] {\displaystyle \scriptstyle {\frac {LS\cdot JS^{\frac {3}{2}}}{\sqrt {2}}}\int \limits _{LA}^{LB}{\frac {dx}{x^{\frac {3}{2}}}}={\frac {LS\cdot JS^{\frac {3}{2}}}{\sqrt {2}}}\left[-2\cdot LB^{-{\frac {1}{2}}}+2\cdot LA^{-{\frac {1}{2}}}\right]} = L S ⋅ J S 3 2 2 [ 1 L A 1 2 − 1 L B 1 2 ] {\displaystyle \scriptstyle =LS\cdot JS^{\frac {3}{2}}{\sqrt {2}}\left[{\frac {1}{LA^{\frac {1}{2}}}}-{\frac {1}{LB^{\frac {1}{2}}}}\right]} ; J S 3 2 2 2 ∫ L A L B d x x 1 2 = J S 3 2 2 2 2 [ L B 1 2 − L A 1 2 ] {\displaystyle \scriptstyle {\frac {JS^{\frac {3}{2}}}{2{\sqrt {2}}}}\int \limits _{LA}^{LB}{\frac {dx}{x^{\frac {1}{2}}}}={\frac {JS^{\frac {3}{2}}}{2{\sqrt {2}}}}2\left[LB^{\frac {1}{2}}-LA^{\frac {1}{2}}\right]} = L B 1 2 ⋅ J S 3 2 − L A 1 2 ⋅ J S 3 2 2 {\displaystyle \scriptstyle ={\frac {LB^{\frac {1}{2}}\cdot JS^{\frac {3}{2}}-LA^{\frac {1}{2}}\cdot JS^{\frac {3}{2}}}{\sqrt {2}}}} ; L A ⋅ L B ⋅ J S 3 2 2 2 ∫ L A L B d x x 3 2 {\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {{\frac {LA\cdot LB\cdot JS^{\frac {3}{2}}}{2{\sqrt {2}}}}\int \limits _{LA}^{LB}{\frac {dx}{x^{\frac {3}{2}}}}}}} = L A ⋅ L B ⋅ J S 3 2 2 2 ⋅ 2 3 [ 1 L A 3 2 − 1 L B 3 2 ] = L A ⋅ L B ⋅ J S 3 2 3 2 [ 1 L A 3 2 − 1 L B 3 2 ] {\displaystyle \scriptstyle ={\frac {LA\cdot LB\cdot JS^{\frac {3}{2}}}{2{\sqrt {2}}}}\cdot {\frac {2}{3}}\left[{\frac {1}{LA^{\frac {3}{2}}}}-{\frac {1}{LB^{\frac {3}{2}}}}\right]={\frac {LA\cdot LB\cdot JS^{\frac {3}{2}}}{3{\sqrt {2}}}}\left[{\frac {1}{LA^{\frac {3}{2}}}}-{\frac {1}{LB^{\frac {3}{2}}}}\right]} .