Nun lassen sich, analog der Formel der partiellen Integration nach der Identität:
![{\displaystyle \varphi (x,u,\dots ){\frac {\partial ^{\tau }p(x)}{\partial x^{\tau }}}=(-1)^{\tau }\cdot {\frac {\partial ^{\tau }\varphi }{\partial x^{\tau }}}\cdot p(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b11699b4d5fad410c37cf8d9ce8635b849f9ed5d)
mod Divergenzen
die Ableitungen von
ersetzen durch
selbst und durch Divergenzen, die linear in
und seinen Ableitungen werden; somit kommt:
(14)
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und in Verbindung mit (12):
(15)
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Ich bilde nun das
-fache Integral über (15), erstreckt über irgend ein Gebiet; und wähle die
so, daß sie mit allen in
auftretenden Ableitungen am Rande verschwinden. Da das Integral über eine Divergenz sich auf ein Randintegral reduziert, verschwindet also auch das Integral über die linke Seite von (15) für willkürliche, nur am Rande mit genügend vielen Ableitungen verschwindende
; und daraus folgt nach bekannten Schlüssen das Verschwinden des Integranden für jedes
, also die
Relationen:
(16)
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Das sind die gesuchten Abhängigkeiten zwischen den Lagrangeschen Ausdrücken und ihren Ableitungen bei Invarianz von
gegenüber
; die lineare Unabhängigkeit zeigt sich wie oben, da die Umkehrung auf (12) zurückführt; und da man wieder von den infinitesimalen Transformationen auf die endlichen zurückschließen kann, wie in § 4 näher ausgeführt wird. Danach treten also bei einer
schon in den infinitesimalen Transformationen immer
willkürliche Transformationen auf. Aus (15) und (16) folgt noch
.
Setzt man entsprechend einer „gemischten Gruppe“
und
linear in den
und den
an, so sieht man, indem man einmal die
, einmal die
Null setzt, daß sowohl Divergenzrelationen (13), wie Abhängigkeiten (16) bestehen.