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	Emmy Noether: Invariante Variationsprobleme

wo $\Delta x_{i},\ \Delta u_{i}$ die Glieder niedrigster Dimension in $\varepsilon$, bezw. $p(x)$ und seinen Ableitungen, bedeuten; und zwar sollen sie linear darin angenommen werden. Wie sich später zeigen wird, ist das keine Einschränkung der Allgemeinheit.

Sei nun das Integral $I$ eine Invariante gegenüber ${\mathfrak {G}}$, also die Relation (1) erfüllt. Insbesondere ist dann $I$ auch invariant gegenüber der in ${\mathfrak {G}}$ enthaltenen infinitesimalen Transformation:

$y_{i}=x_{i}+\Delta x_{i};\quad v_{i}(y)=u_{i}+\Delta u_{i};$

und dafür geht die Relation (1) über in:

(7)	$0=\Delta I=\int \dots \int f\left(y,\ v(y),\ {\frac {\partial v}{\partial y}},\dots \right)dy$

$-\int \dots \int f\left(x,\ u(x),\ {\frac {\partial u}{\partial x}},\dots \right)dx,$

wo das erste Integral über das dem $x$-Gebiet entsprechende $x+\Delta x$-Gebiet zu erstrecken ist. Diese Integration läßt sich aber auch in eine Integration über das $x$-Gebiet verwandeln vermöge der für infinitesimale $\Delta x$ geltenden Umformung

(8)	$\int \dots \int f\left(y,\ v(y),\ {\frac {\partial v}{\partial y}},\dots \right)dy$

$=\int \dots \int f\left(x,\ v(x),\ {\frac {\partial v}{\partial x}},\dots \right)dx+\int \dots \int \ \mathrm {Div} (f\cdot \Delta x)\cdot dx.$

Führt man somit an Stelle der infinitesimalen Transformation $\Delta u$ die Variation ein:

(9)	${\bar {\delta }}u_{i}=v_{i}(x)-u_{i}(x)=\Delta u_{i}-\sum {\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{\lambda }}}\Delta x_{\lambda },$

so geht (7) und (8) über in:

(10)	$0=\int \dots \int \ \left\{{\bar {\delta }}f+\mathrm {Div} (f\cdot \Delta x)\right\}dx.$

Die rechte Seite ist die bekannte Formel für gleichzeitige Variation der abhängigen und unabhängigen Variabeln. Da die Beziehung (10) bei Integration über jedes beliebige Gebiet erfüllt ist, so muß der Integrand identisch verschwinden; die Lieschen Differentialgleichungen für die Invarianz von $I$ gehen also über in die Relation:

(11)	${\bar {\delta }}f+\mathrm {Div} (f\cdot \Delta x)=0.$

Drückt man hierin nach (3) ${\bar {\delta }}f$ durch die Lagrangeschen Ausdrücke aus, so kommt:

(12)	$\sum \psi _{i}{\bar {\delta }}u_{i}=\mathrm {Div} \,B\qquad (B=A-f\cdot \Delta x),$

Empfohlene Zitierweise:
Emmy Noether: Invariante Variationsprobleme. Nachr. D. König. Gesellsch. D. Wiss. Zu Göttingen, Math-phys. Klasse, Weidmannsche Buchhandlung, Berlin 1918, Seite 241. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:InvarianteVariationsprobleme.djvu/7&oldid=- (Version vom 1.8.2018)