die partielle Integration zeigt, sind diese Randglieder Integrale über Divergenzen, d. h. über Ausdrücke
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wobei
linear in
und seinen Ableitungen ist. Somit kommt:
(3)
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Enthält
insbesondere nur erste Ableitungen der
, so ist im Fall des einfachen Integrals die Identität (3) identisch mit der von Heun sogenannten „Lagrangeschen Zentralgleichung“:
(4)
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während für das
-fache Integral (3) übergeht in:
(5)
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Für das einfache Integral und
Ableitungen der
ist (3) gegeben durch:
(6)
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und eine entsprechende Identität gilt beim
-fachen Integral;
enthält insbesondere
bis zur
ten Ableitung. Daß durch (4), (5), (6) tatsächlich die Lagrangeschen Ausdrücke
definiert sind, folgt daraus, daß durch die Kombinationen der rechten Seiten alle höheren Ableitungen der
eliminiert sind, während andererseits die Relation (2) erfüllt ist, zu der die partielle Integration eindeutig führt.
Es handelt sich nun im folgenden um die beiden Sätze:
I. Ist das Integral
invariant gegenüber einer
, so werden
linear-unabhängige Verbindungen der Lagrangeschen Ausdrücke zu Divergenzen — umgekehrt