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	Emmy Noether: Invariante Variationsprobleme

Versagens eigentlicher Energiesätze mit „allgemeiner Relativität“ (erste Kleinsche Note, Göttinger Nachr. 1917, Antwort, 1. Absatz), und zwar in verallgemeinerter gruppentheoretischer Fassung.

Es gestatte das Integral $I$ eine ${\mathfrak {G}}_{\infty \varrho }$, und ${\mathfrak {G}}_{\sigma }$ sei irgend eine durch Spezialisierung der willkürlichen Funktionen entstehende endliche Gruppe, also Untergruppe von ${\mathfrak {G}}_{\infty \varrho }$. Der unendlichen Gruppe ${\mathfrak {G}}_{\infty \varrho }$ entsprechen dann Abhängigkeiten (16), der endlichen ${\mathfrak {G}}_{\sigma }$ Divergenzrelationen (13); und umgekehrt folgt aus dem Bestehen irgend welcher Divergenzrelationen die Invarianz von $I$ gegenüber einer endlichen Gruppe, die dann und nur dann mit ${\mathfrak {G}}_{\sigma }$ identisch ist, wenn die ${\bar {\delta }}u$ lineare Kombinationen der sich aus ${\mathfrak {G}}_{\sigma }$ ergebenden sind. Die Invarianz gegenüber ${\mathfrak {G}}_{\sigma }$ kann also zu keinen von (13) verschiedenen Divergenzrelationen führen. Da aber aus dem Bestehen von (16) die Invarianz von $I$ gegenüber den infinitesimalen Transformationen $\Delta u,\ \Delta x$ von ${\mathfrak {G}}_{\infty \varrho }$ bei beliebigem $p(x)$ folgt, so folgt daraus insbesondere schon die Invarianz gegenüber den daraus durch Spezialisierung entstehenden infinitesimalen Transformationen von ${\mathfrak {G}}_{\sigma }$, und folglich gegenüber ${\mathfrak {G}}_{\sigma }$. Die Divergenzrelationen $\sum \psi _{i}{\bar {\delta }}u_{i}^{(\lambda )}=\mathrm {Div} \ B^{(\lambda )}$ müssen also Folgen der Abhängigkeiten (16) sein, welch letztere sich auch schreiben lassen: $\sum \psi _{i}a_{i}^{(\lambda )}=\mathrm {Div} \ \chi ^{(\lambda )}$, wo die $\chi ^{(\lambda )}$ lineare Verbindungen der Lagrangeschen Ausdrücke und ihrer Ableitungen sind. Da die $\psi$ sowohl in (13) wie in (16) linear eingehen, müssen die Divergenzrelationen also insbesondere lineare Kombinationen der Abhängigkeiten (16) sein; somit kommt $\mathrm {Div} \ B^{(\lambda )}=\mathrm {Div} \ \left(\sum \alpha \cdot \chi ^{(\lambda )}\right)$; und die $B^{(\lambda )}$ selbst setzen sich also linear aus den $\chi$, d. h. den Lagrangeschen Ausdrücken und ihren Ableitungen zusammen, und aus Funktionen, deren Divergenz identisch verschwindet, wie etwa die am Schluß von § 2 auftretenden $B-\Gamma$, für welche $\mathrm {Div} \ (B-\Gamma )=0$, und wo die Divergenz zugleich Invarianteneigenschaft hat. Divergenzrelationen, bei denen sich die $B^{(\lambda )}$ auf die angegebene Art aus den Lagrangeschen Ausdrücken und ihren Ableitungen zusammensetzen lassen, will ich als „uneigentliche“, alle übrigen als „eigentliche“ bezeichnen.

Sind umgekehrt die Divergenzrelationen lineare Verbindungen der Abhängigkeiten (16), also „uneigentliche“, so folgt die Invarianz gegenüber ${\mathfrak {G}}_{\sigma }$ aus der gegenüber ${\mathfrak {G}}_{\infty \varrho }$; ${\mathfrak {G}}$ wird Untergruppe von ${\mathfrak {G}}_{\infty \varrho }$. Die einer endlichen Gruppe ${\mathfrak {G}}_{\sigma }$ entsprechenden Divergenzrelationen werden also dann und nur dann uneigentliche, wenn ${\mathfrak {G}}_{\sigma }$ Untergruppe einer unendlichen Gruppe ist, der gegenüber $I$ invariant ist.

Durch Spezialisierung der Gruppen ergibt sich hieraus die ursprüngliche Hilbertsche Behauptung. Unter „Verschiebungsgruppe“

Empfohlene Zitierweise:
Emmy Noether: Invariante Variationsprobleme. Nachr. D. König. Gesellsch. D. Wiss. Zu Göttingen, Math-phys. Klasse, Weidmannsche Buchhandlung, Berlin 1918, Seite 254. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:InvarianteVariationsprobleme.djvu/20&oldid=- (Version vom 1.8.2018)