Funktionen
sich aus
und
bestimmen. In Formeln drückt sich das so aus:
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Hieraus entsteht aber
, also
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indem man vermöge der Umkehrung von
die
als Funktionen der
betrachtet und nur die infinitesimalen Glieder berücksichtigt; also hat man die Identität:
(20)
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Ersetzt man hierin
durch
, wodurch also
wieder in
übergeht, also
verschwindet; so geht nach der ersten Formel (20) auch
wieder in
über; geht durch diese Substitution
über in
, so geht also auch
über in
, und die zweite Formel (20) gibt:
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so daß also tatsächlich die Transformationsformeln für Variationen erfüllt sind, sobald nur
von den Parametern, bezw. willkürlichen Funktionen
abhängig angenommen wird [1].
Es folgt also insbesondere die relative Invarianz von
; also auch nach (12), da die Divergenzrelationen auch in
erfüllt sind, die relative Invarianz von
; und weiter nach (14) und (13) die relative Invarianz von
und der mit den
zusammengefaßten linken Seiten der Abhängigkeiten, wo immer in den transformierten Formeln die willkürlichen
(bezw. die Parameter) durch die
zu ersetzen sind. Daraus ergibt sich noch die relative Invarianz von
, also einer Divergenz eines
- ↑ Es zeigt sich wieder, daß
von
unabhängig angenommen werden muß usw., damit die Schlüsse gelten. Als Beispiel seien etwa die von Klein angegebenen
und
genannt, die den Transformationen für Variationen genügen sobald die
einer Vektortransformation unterworfen werden.