Ableitungen auftreten[1], hat man also die Existenz von
ersten Integralen. Daß unter diesen nicht-lineare Abhängigkeiten bestehen können, zeigt wieder das obige
. Den linear-unabhängigen
,
entsprechen die linear-unabhängigen Relationen:
; während zwischen den ersten Integralen
eine nichtlineare Abhängigkeit besteht. Dabei handelt es sich um den elementaren Fall, daß
keine Ableitungen der
enthalten[2].
§ 4. Umkehrung im Fall der unendlichen Gruppe.
Vorerst sei gezeigt, daß die Annahme der Linearität von
und
keine Einschränkung vorstellt, was sich hier schon ohne Umkehrung aus der Tatsache ergibt, daß
von
und nur willkürlichen Funktionen formal abhängt. Es zeigt sich nämlich, daß im nichtlinearen Fall bei Zusammensetzung der Transformationen, wobei die Glieder niedrigster Ordnung sich addieren, die Anzahl der willkürlichen Funktionen zunehmen würde. In der Tat, sei etwa
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und entsprechend
, so kommt durch Zusammensetzung mit
für die Glieder niedrigster Ordnung:
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Ist hier irgend ein von
und
verschiedener Koeffizient von Null verschieden, kommt also ein Term:
wirklich
- ↑ Sobald
nichtlinear in den
-ten Ableitungen ist.
- ↑ Sonst hat man noch
für jedes
, entsprechend:
![{\displaystyle u''\cdot (u')^{\lambda -1}={\frac {1}{\lambda }}{\frac {d}{dx}}(u')^{\lambda }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1810dce5a9d895afc2582c4114a1428a095f6363)