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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.21

beide ganze algebraische Zahlen, und es erweist sich somit

$\varepsilon _{g}={\frac {1-\zeta ^{g}}{1-\zeta }}$

als eine Einheit des Körpers $k(\zeta )$. Setzen wir noch $\lambda =1-\zeta$ und ${\mathfrak {l}}=(\lambda )$, so erhält die Formel (31) die Gestalt

$l=\lambda ^{l-1}\varepsilon _{2}\varepsilon _{3}\dots \varepsilon _{l-1}={\mathfrak {l}}^{l-1}$

(32)

Aus Satz 33 schließt man unmittelbar, daß eine rationale Primzahl in einem gegebenen Zahlkörper höchstens das Produkt so vieler Primideale sein kann, als der Grad des Körpers beträgt. In Anbetracht der Formel (32) muß mithin der Grad des Körpers $k(\zeta )$ mindestens $=l-1$ sein, also ist nach dem bereits oben Gefundenen dieser Grad genau $=l-1$. Andererseits kann aus dem nämlichen Grunde das Ideal ${\mathfrak {l}}$ im Körper $k(\zeta )$ nicht noch weiter in Faktoren zerfallen und es ist somit ${\mathfrak {l}}$ ein Primideal in $k(\zeta )$ [Dedekind (1)].

Das gewonnene Resultat besagt zugleich, daß die Funktion $F(x)$ im Bereich der rationalen Zahlen irreduzibel ist.

§ 92. Die Basis und die Diskriminante des Kreiskörpers der $l$-ten Einheitswurzeln.

Satz 118. In dem durch $\zeta =\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{l}}$ bestimmten Kreiskörper $k(\zeta )$ der $l$-ten Einheitswurzeln bilden die Zahlen

$1,\zeta ,\zeta ^{2},\dots ,\zeta ^{l-2}$

eine Basis. Die Diskriminante des Kreiskörpers $k(\zeta )$ ist

$d=(-1)^{\frac {l-1}{2}}l^{l-2}.$

Beweis. Die Differente der Zahl $\zeta$ im Körper $k(\zeta )$ ist

$\delta =\left(\zeta -\zeta ^{2}\right)\left(\zeta -\zeta ^{3}\right)\dots \left(\zeta -\zeta ^{l-1}\right)=\left[{\frac {dF(x)}{dx}}\right]_{x=\zeta }.$

Aus

$(x-1)F(x)=x^{l}-1$

folgt:

$(x-1){\frac {dF(x)}{dx}}+F(x)=lx^{l-1}$, also $\delta =-{\frac {l\zeta ^{l-1}}{1-\zeta }};$

nach der in § 3 (S. 71) gemachten Bemerkung ist dann die Diskriminante der Zahl $\zeta$

$d(\zeta )=(-1)^{\frac {(l-1)(l-2)}{2}}n(\delta )=(-1)^{\frac {l-1}{2}}l^{l-2}.$

Da die Diskriminante $d(\lambda )$ der Zahl $\lambda$ offenbar den nämlichen Wert $d(\zeta )$ hat, so lehrt die im Beweise zu Satz 5 bei Formel (1) S. 72 gemachte Bemerkung,

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 196. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/213&oldid=- (Version vom 31.7.2018)