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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.1

Beweis: Ist $\alpha$ eine den Körper bestimmende ganze Zahl, so ist jede Zahl $\omega$ in der Gestalt

$\omega =r_{1}+r_{2}\alpha +\cdots +r_{m}\alpha ^{m-1}$

darstellbar, wo $r_{1}$, $r_{2}$, …, $r_{m}$ rationale Zahlen sind. Durch Übergang zu den konjugierten Zahlen erhält man

${\begin{alignedat}{2}\omega '&=r_{1}+r_{2}\alpha '&+\cdots &+r_{m}\alpha ^{\prime m-1},\\&\qquad \qquad \qquad \vdots &&\\\omega ^{(m-1)}&=r_{1}+r_{2}\alpha ^{(m-1)}&+\cdots &+r_{m}(\alpha ^{(m-1)})^{m-1};\end{alignedat}}$

und hieraus folgt allgemein für $s=1$, $2$, …, $m$ in leicht verständlicher Abkürzung:

${\begin{aligned}r_{s}&={\frac {\left|1,\,\alpha ,\,\ldots ,\,\omega ,\quad \,\,\ldots ,\,\alpha ^{m-1}\right|}{\left|1,\,\alpha ,\,\ldots ,\,\alpha ^{s-1},\,\ldots ,\,\alpha ^{m-1}\right|}}\\&={\frac {\left|1,\,\alpha ,\,\ldots ,\,\omega ,\,\ldots ,\,\alpha ^{m-1}\right|\left|1,\,\alpha ,\,\ldots ,\,\alpha ^{s-1},\,\ldots ,\,\alpha ^{m-1}\right|}{\left|1,\,\alpha ,\,\ldots ,\,\alpha ^{s-1},\,\ldots ,\,\alpha ^{m-1}\right|^{2}}}={\frac {A_{s}}{d(\alpha )}},\end{aligned}}$

wo $A_{s}$ als ganze ganzzahlige Funktion von $\alpha$, $\alpha '$, …, $\alpha ^{(m-1)}$, $\omega$, $\omega '$, …, $\omega ^{(m-1)}$ eine ganze Zahl ist. Da andererseits $A_{s}$ gleich der rationalen Zahl $r_{s}d(\alpha )$ ist, so ist $A_{s}$ nach Satz 4 eine ganze rationale Zahl. Jede ganze Zahl $\omega$ gestattet daher die Darstellung

$\omega ={\frac {A_{1}+A_{2}\alpha +\cdots +A_{m}\alpha ^{m-1}}{d(\alpha )}}$,

(1)

wo $A_{1}$, $A_{2}$, …, $A_{m}$ ganze rationale Zahlen sind und $d(\alpha )$ die Diskriminante von $\alpha$ bedeutet.

Nun sei wiederum $s$ eine bestimmte von den Zahlen $1$, $2$, …, $m$; wir denken uns alle ganzen Zahlen des Körpers von der Gestalt

${\begin{aligned}\omega _{s}&={\frac {O_{1}+O_{2}\alpha +\cdots +O_{s}\alpha ^{s-1}}{d(\alpha )}},\\\omega _{s}^{(1)}&={\frac {O_{1}^{(1)}+O_{2}^{(1)}\alpha +\cdots +O_{s}^{(1)}\alpha ^{s-1}}{d(\alpha )}},\\\omega _{s}^{(2)}&={\frac {O_{1}^{(2)}+O_{2}^{(2)}\alpha +\cdots +O_{s}^{(2)}\alpha ^{s-1}}{d(\alpha )}},\\&\qquad \qquad \qquad \quad \vdots \end{aligned}}$

berechnet, wo die Koeffizienten $O$, $O^{(1)}$, $O^{(2)}$, … sämtlich ganze rationale Zahlen sind; wir können annehmen, daß etwa $O_{s}\neq 0$ und der größte gemeinsame Teiler der sämtlichen Zahlen $O_{s}$, $O_{s}^{(1)}$, $O_{s}^{(2)}$, … ist. Dann bilden die betreffenden $m$ ersten Zahlen $\omega _{1}$, …, $\omega _{m}$ ein System von der verlangten Beschaffenheit. Ist nämlich eine beliebige ganze Zahl $\omega$ in der Gestalt (1) vorgelegt, so muß nach der eben gemachten Festsetzung $A_{m}=a_{m}O_{m}$ sein, wo $a_{m}$ eine gewisse ganze rationale Zahl ist; dann aber ist die Differenz $\omega ^{*}=\omega -a_{m}\omega _{m}$ von der Gestalt

$\omega ^{*}={\frac {A_{1}^{*}+A_{2}^{*}\alpha +\cdots +A_{m-1}^{*}\alpha ^{m-2}}{d(\alpha )}}$.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 72. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/89&oldid=- (Version vom 31.7.2018)