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Beweis: Ist eine den Körper bestimmende ganze Zahl, so ist jede Zahl in der Gestalt

darstellbar, wo , , …, rationale Zahlen sind. Durch Übergang zu den konjugierten Zahlen erhält man

und hieraus folgt allgemein für , , …, in leicht verständlicher Abkürzung:

wo als ganze ganzzahlige Funktion von , , …, , , , …, eine ganze Zahl ist. Da andererseits gleich der rationalen Zahl ist, so ist nach Satz 4 eine ganze rationale Zahl. Jede ganze Zahl gestattet daher die Darstellung

, (1)

wo , , …, ganze rationale Zahlen sind und die Diskriminante von bedeutet.

Nun sei wiederum eine bestimmte von den Zahlen , , …, ; wir denken uns alle ganzen Zahlen des Körpers von der Gestalt

berechnet, wo die Koeffizienten , , , … sämtlich ganze rationale Zahlen sind; wir können annehmen, daß etwa und der größte gemeinsame Teiler der sämtlichen Zahlen , , , … ist. Dann bilden die betreffenden ersten Zahlen , …, ein System von der verlangten Beschaffenheit. Ist nämlich eine beliebige ganze Zahl in der Gestalt (1) vorgelegt, so muß nach der eben gemachten Festsetzung sein, wo eine gewisse ganze rationale Zahl ist; dann aber ist die Differenz von der Gestalt

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Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 72. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/89&oldid=- (Version vom 31.7.2018)