Schwere, Elektricität und Magnetismus:370

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 356
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Neunter Abschnitt. §. 110.

der Erdoberfläche bekannt. Für die Function $J(\theta ,\varphi )\,$ setzen wir die Entwicklung (5) des §. 109, in welcher durchaus nichts Unbekanntes mehr auftritt. Dann haben wir also für irgend einen Punkt der Erdoberfläche

(3)	$V^{*}=V_{0}^{*}+S_{0}+S_{1}+S_{2}+\ldots +S_{n}+\ldots$ $S_{n}={\frac {(2n+1)}{4\pi }}\int _{0}^{\pi }d\varphi '\int _{0}^{2\pi }P_{n}\cdot J(\theta ',\varphi ')\sin \theta 'd\theta '.\,$

Diese Entwicklung muss identisch mit §. 107 (8) übereinstimmen. Wir haben also

(4)	$V_{0}^{*}+S_{0}=-aQ_{0}=0.\,$

(5)	$-aQ_{n}=S_{n}\,$ für $n>0.\,$

Damit ist die Potentialfunction vollständig hergestellt aus der einen Voraussetzung, dass in jedem Punkte der Erdoberfläche die nördlich gerichtete Componente der erdmagnetischen Kraft bekannt ist.

 Wenn in allen Punkten eines einzigen Meridians die nördlich gerichtete Componente, ausserdem aber an jeder Stelle der Erdoberfläche die westlich gerichtete Componente der erdmagnetischen Kraft gegeben ist, so lässt auch daraus die Potentialfunction sich vollständig herstellen. Denn es ist in diesem Falle

(6)	$-{\frac {\partial V^{*}}{a\sin \theta \partial \varphi }}\,$

die westlich gerichtete Componente. Daraus berechnet sich

(7)	$J(\theta ,\varphi )=V^{*}-V_{0}^{*}=\int _{\varphi _{0}}^{\varphi }{\frac {\partial V^{*}}{a\sin \theta \partial \varphi }}a\sin \theta d\varphi +J(\theta ,\varphi _{0}).$

Hier bedeutet $\varphi _{0}\,$ die geographische Länge des Meridians, auf welchem die nördlich gerichtete Componente bekannt ist, und $J(\theta ,\varphi _{0})\,$ bezeichnet das auf diesem Meridian genommene Integral (2), wenn $s=a\theta \,$ gesetzt wird. Dann treten die Gleichungen (3), (4), (5) wie vorher in Gültigkeit.

 Die Potentialfunction kann vollständig auch dann hergestellt werden, wenn man an jeder Stelle der Erdoberfläche die vertical nach unten gerichtete Componente der erdmagnetischen Kraft kennt. Wir bezeichnen dieselbe mit $Z\,$ und verstehen unter $Z'\,$ den Werth, den sie im Punkte $(a,\,\theta ',\,\varphi ')\,$ besitzt. Alsdann kann man nach Kugelfunctionen entwickeln: