Schwere, Elektricität und Magnetismus:369

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 355
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Bestimmung der Constanten in der Entwicklung von V.

Hier sind $T_{0},\ T_{1},\ T_{2}\ldots \,$ wieder Kugelfunctionen. Wir dürfen also von dem Satze (11) Gebrauch machen. Wir multipliciren in (13) auf beiden Seiten mit $T_{m}\sin \theta d\theta d\varphi \,$ und integriren zwischen den Grenzen $0\,$ und $\pi \,$ für $\theta \,$ und den Grenzen $0\,$ und $2\pi \,$ für $\varphi \,$. Dann kömmt auf der rechten Seite Null heraus und links fallen nach Gleichung (11) alle Glieder, mit Ausnahme eines einzigen, heraus. Es ergibt sich

(14)	$\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{\pi }T_{m}^{2}\sin \theta d\theta =0.$

Dies kann aber nur dadurch zu Stande kommen, dass überall identisch

(15)	$T_{m}=0\,$

ist, und das sollte bewiesen werden.

§. 110. Bestimmung der Constanten in der Entwicklung von $V\,$.

 Wir kehren zurück zu den Gleichungen (6), (7), (8) des §. 107. Die darin auftretenden Functionen $Q_{1},\ Q_{2},\ldots Q_{n}\ldots \,$ sind in ihrer Abhängigkeit von $\theta \,$ und $\varphi \,$ durch die Gleichung (10) des §. 108 vollständig ausgedrückt. Es handelt sich nur noch um die Bestimmung der constanten Coefficienten. Diese sind für alle drei Gleichungen (6), (7), (8) des §. 107 dieselben. Wir halten uns deshalb an die Gleichung (8), welche für die Erdoberfläche gültig ist. An der Erdoberfläche ist, wie in der Gleichung (2) des §. 106 bereits bemerkt worden,

(1)	$V=V^{*}.\,$

Wenn es nun gelingt, die Function $V^{*}\,$ in eine Reihe von Kugelfunctionen mit bekannten Coefficienten zu entwickeln, so muss nach dem Satze des vorigen Paragraphen diese Entwicklung mit derjenigen in §. 107 (8) identisch übereinstimmen. Dadurch sind dann alle unbekannten Coefficienten bestimmt.

 Wir wollen das Integral in §. 105, Gleichung (3) mit $J(\theta ,\varphi )\,$ bezeichnen:

(2)	$J(\theta ,\varphi )=\int _{o}^{s}{\frac {\partial V^{*}}{\partial s}}ds\,,$

und mit $J(\theta ',\varphi ')\,$ den Werth, welchen dasselbe im Punkte $(a,\theta ',\varphi ')\,$ besitzt. Dieses Integral ist, wie wir voraussetzen, in jedem Punkte