Schwere, Elektricität und Magnetismus:249

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Drahtförmiger Leiter. Das Ohm’sche Gesetz.

von ihrem Anfangspunkte bis zu einem unbestimmten Punkte hin durchlaufene Bogen mit $s\,$ bezeichnet werden. Der Querschnitt $q\,$ braucht zwar nicht überall derselbe zu sein. Doch setzen wir fest, dass bei einer stetigen Aenderung von $s\,$ auch die Aenderungen des Querschnittes nur stetig vor sich gehen, so dass man an jeder Stelle zwei Querschnitte einander hinreichend nahe legen kann, die von einander und von allen zwischenliegenden Querschnitten nur unendlich wenig abweichen. Zwischen je zwei solchen Querschnitten kann der Draht als ein Cylinder von beliebig gestaltetem, aber unverändertem Querschnitt angesehen werden.

 Wir betrachten zunächst nur einen solchen Cylinder an einer beliebigen Stelle des Drahtes. Die Axe dieses Cylinders soll zu den Dimensionen des Querschnittes $q\,$ in endlichem Verhältnis stehen. Wir dürfen sie deshalb als geradlinig ansehen und legen in sie die Axe der $x\,$ des rechtwinkligen Coordinatensystems. Die normalen Querschnitte sind also zur $y\,z$-Ebene parallel. Da die Dimensionen jedes Querschnittes unendlich klein sind, so dürfen wir die Strömung in seiner Ebene vernachlässigen im Vergleich zu der Strömung, die normal gegen diese Ebene gerichtet ist. D. h. wir dürfen in jeder Richtung, die in die Ebene eines Querschnittes fällt, die specifische Stromintensität gleich Null setzen:

(1)	$i_{2}=0,\quad i_{3}=0,$

Ferner dürfen wir in einem und demselben Querschnitt jede der Componenten $\Xi ,\ \mathrm {H} ,\ \mathrm {Z}$ und den specifischen Widerstand $w\,$ constant nehmen. Nun folgt aber aus (1) und aus den Gleichungen (2) des §. 59:

${\frac {\partial V}{\partial y}}=-\mathrm {H} ,\quad {\frac {\partial V}{\partial z}}=-\mathrm {Z} ,$

d. h. für jeden Punkt innerhalb desselben Querschnittes:

$V=-\mathrm {H} \,y-\mathrm {Z} \,z+f(x).$

Da aber in jedem Querschnitt $y\,$ und $z\,$ unendlich klein sind, so hat man kürzer

$V=f(x).\,$

Die erste der Gleichungen (2) des §. 59 gibt hiernach:

(2)	$w\,i_{1}=f'(x)+\Xi .$

Nun ist $f'(x)\,$ nur von $x\,$ abhängig, und ebenso hat nach der Voraussetzung $\Xi \,$ in allen Punkten desselben Querschnittes denselben