Schwere, Elektricität und Magnetismus:222

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 208
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Vierter Abschnitt. §. 52.

(6)	$M_{2}+M_{3}=\sum _{1}^{\infty }m''_{k}+\sum _{0}^{\infty }m'''_{k}.$

Diese beiden letzten Gleichungen sind nun insofern noch unbestimmt, als jede der vier Reihen, einzeln genommen, divergirt. In Gleichung (5) besteht die erste Reihe aus lauter negativen, die zweite aus lauter positiven Gliedern, und umgekehrt ist es in Gleichung (6). Vereinigt man die Glieder auf der rechten Seite zu einer einzigen Reihe, so lässt sich je nach dem Gesetze, nach welchem positive und negative Glieder auf einander folgen, jede beliebige Zahl als Summe herstellen.*)^[1] Nach der Natur des Problems muss aber in jeder der beiden Gleichungen eine einzige bestimmte Zahl als die richtige Summe zu Stande kommen, und es fragt sich also, welche Anordnung der Glieder die allein richtige ist.

 Um darüber ins Klare zu kommen, gehen wir auf den Satz (6) des §. 18 zurück, wonach

(7)	$M_{1}+M_{4}=\lim \lbrace -R(V'_{1}+V'_{4})\rbrace ,$

(8)	$M_{2}+M_{3}=\lim \lbrace -R(V'_{2}+V'_{3})\rbrace$

für $\lim R=\infty .$

Es genügt, die Potentialfunctionen in (7) für solche Punkte der positiven Abscissenaxe herzustellen, deren Abscisse $x>c+b\!$ ist, und dann $\lim x=\infty \!$ zu nehmen.

 Statt aber die wahren Werthe der Potentialfunctionen in Rechnung zu bringen, wollen wir je einen zu grossen und einen zu kleinen nehmen. Wir gelangen dazu durch die Bemerkung, dass $x'_{k+1}>x''''_{k+1}>x'_{k}\!$. Durchläuft man also die Centrallinie im Innern der ersten Kugel im Sinne der wachsenden $x\!$, so gelangt man abwechselnd zu elektrischen Ladungen der ersten und der vierten Gruppe. Nun kann man sich jede Ladung der vierten Gruppe verschoben denken, das eine Mal in den nächstvorhergehenden, das andere Mal in den nächstfolgenden Unstetigkeitspunkt der ersten Gruppe. Dadurch, erhält man im ersten Falle im Punkte $x'_{k}\!$ die Ladung $m'_{k}+m''''_{k+1}\!$, und dies gilt von $k=0\!$ an. Im andern Falle hat man im Punkte $x'_{0}\!$ die Ladung $m'_{0}\!$, und im Punkte $x'_{k}\!$ (mit $k=1\!$ anfangend), die Ladung $m'_{k}+m''''_{k}\!$. Durch die erste

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1. *) Ueber diesen Satz vergleiche man: Riemann, partielle Differentialgleichungen. Bearbeitet von Hattendorff. § 20.