Schwere, Elektricität und Magnetismus:221

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 207
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Die Kugeln berühren sich.

§. 50 nehmen die Form ${\frac {0}{0}}$ an. Ihre Werthe sind aber leicht zu ermitteln. Man erhält

(2)

${\begin{alignedat}{2}&x'_{k}={\frac {k\,a\,c}{k\,c+b}},\qquad &&m'_{k}={\frac {-a\,b\,g}{k\,c+b}};\\\,\\&x''_{k}={\frac {a(k\,c+b)}{k\,c}},\qquad &&m''_{k}={\frac {a\,b\,g}{k\,c}};\\\,\\&x'''_{k}={\frac {(k+1)a\,c}{k\,c+a}},\qquad &&m'''_{k}={\frac {-a\,b\,g}{k\,c+a}};\\\,\\&x''''_{k}={\frac {a(k\,c-b)}{k\,c}},\qquad &&m''''_{k}={\frac {a\,b\,g}{k\,c}}.\\\end{alignedat}}$

 Hier entsteht nun die Schwierigkeit, dass die Reihen (7) des §. 48, sowie die Reihen (12) des §. 50, einzeln genommen, nicht mehr convergiren. Das Problem ist aber bei den in (2) ausgesprochenen Daten ein durchaus bestimmtes, man wird also auch eine einzige bestimmte Lösung zu verlangen haben. Diese Lösung ist vollständig hergestellt, wenn man für jeden Punkt des äusseren Raumes die Functionen $V_{1}+V_{4}\!$ und $V_{2}+V_{3}\!$ kennt, von denen die erste herrührt von der Elektricität auf der ersten, die andere von der Elektricität auf der zweiten Kugel. Aus diesen Functionen lässt sich dann nach § 45 (8) die Dichtigkeit der Elektricität in jedem Punkte der beiden Kugeloberflächen finden, und es lässt sich die gesammte Ladung $M_{1}+M_{4}\!$ für die erste Kugel und $M_{2}+M_{3}\!$ für die zweite Kugel berechnen.

 Wir fangen mit dieser letzten Aufgabe an. Es ist, wie im vorigen Paragraphen nachgewiesen worden:

(3)	$M_{1}+M_{4}={\frac {1}{4\,\pi }}\int \left({\frac {\partial (V'_{1}+V'_{4})}{\partial p}}\right)_{+0}d\sigma _{1},$

(4)	$M_{2}+M_{3}={\frac {1}{4\,\pi }}\int \left({\frac {\partial (V'_{2}+V'_{3})}{\partial p}}\right)_{+0}d\sigma _{2},$

wenn man in (3) über die erste, in (4) über die zweite Kugeloberfläche integrirt. Die Integrale auf der rechten Seite geben aber, wie ebenfalls im vorigen Paragraphen auseinandergesetzt ist, die Summe der fingirten Ladungen in den Unstetigkeitspunkten im Innern der einen und der andern Kugel an. Also erhält man

(5)	$M_{1}+M_{4}=\sum _{0}^{\infty }m'_{k}+\sum _{1}^{\infty }m''''_{k},$