Schwere, Elektricität und Magnetismus:223

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 209
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Die Kugeln berühren sich.

Verschiebung werden aber die Ladungen der vierten Gruppe von dem Punkte $(x,\,0,\,0)$ zu weit entfernt, im zweiten Falle werden sie ihm zu sehr genähert. Gibt man dabei Acht auf die Form der Potentialfunction und auf die Vorzeichen der Ladungen, so ergibt sich bei der abgeänderten Vertheilung im ersten Falle ein zu grosser Werth, im zweiten Falle ein zu kleiner Werth der Potentialfunction, verglichen mit dem wahren Werthe, der bei richtiger Vertheilung zu Stande kommen muss. Wir haben danach

(9)	$\sum _{0}^{\infty }{\frac {-m'_{k}-m''''_{k+1}}{x-x'_{k}}}>V'_{1}+V'_{4}>-{\frac {m_{0}}{x}}+\sum _{1}^{\infty }{\frac {-m'_{k}-m''''_{k}}{x-x'_{k}}}.$

Die beiden unendlichen Reihen, welche in (9) vorkommen, sind (für $x>a\!$ und um so mehr für $x>c+b\!$) unter allen Umständen convergent, auch wenn man für die Constanten die Werthe aus den Gleichungen (2) einsetzt. Multiplicirt man nun mit $x\!$ und geht zu den Grenzwerthen über für $\lim x=\infty \!$, so ergibt sich

$\sum _{0}^{\infty }(-m'_{k}-m''''_{k+1})>\lim \lbrace x(V'_{1}+V'_{4})\rbrace >-m_{0}+\sum _{1}^{\infty }(-m'_{k}-m''''_{k}).$

Hier kommen links und rechts in den Reihen dieselben Glieder in derselben Reihenfolge vor. Die doppelte Ungleichung geht also in eine Gleichung über, nemlich:

${\begin{aligned}\lim \lbrace x(V'_{1}+V'_{4})\rbrace &=\sum _{0}^{\infty }(-m'_{k}-m''''_{k+1})\\&=\sum _{0}^{\infty }\left({\frac {a\,b\,g}{k\,c+b}}-{\frac {a\,b\,g}{(k+1)c}}\right).\\\end{aligned}}$

Danach erhalten wir aus Gleichung (7):

(10)	$M_{1}+M_{4}=-{\frac {a\,b\,g}{c}}\sum _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{k+{\frac {b}{c}}}}-{\frac {1}{k+1}}\right).$

In der Reihe auf der rechten Seite ist die Folge der Glieder keine willkürliche mehr, sondern genau vorgeschrieben. Die Reihe ist convergent. Man kann auch je zwei zusammengehörige Glieder vereinigen und erhält:

(11)	$M_{1}+M_{4}={\frac {a^{2}\,b\,g}{c^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{\left(k+{\frac {b}{c}}\right)(k+1)}}.$

Die unendliche Reihe lässt sich in ein bestimmtes Integral verwandeln. Es ist nemlich für ein positives $k\!$: