Schwere, Elektricität und Magnetismus:210

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 196
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Vierter Abschnitt. §. 49.

 Aus den Gleichungen (13) und (14) leiten wir ab:

${\begin{aligned}{\frac {1}{\eta }}\,\varphi _{1}\left({\frac {1}{\eta }}\right)&=\sum _{0}^{\infty }\,{\frac {1}{p_{k}+q_{k}\,\eta }},\\\,\\{\frac {1}{\zeta }}\,\chi _{1}\left({\frac {1}{\zeta }}\right)&=\sum _{0}^{\infty }\,{\frac {1}{\left(p_{k}{\frac {c}{a}}+q_{k}\right)\zeta -\,{\frac {b}{a}}\,p_{k}}}\\&=\sum _{0}^{\infty }\,{\frac {1}{\left(p_{k}{\frac {c}{a}}+q_{k}\right)\left({\frac {c}{b}}-{\frac {a}{b}}\,\eta \right)-\,{\frac {b}{a}}\,p_{k}}}.\\\end{aligned}}$

 Wir disponiren nun über die Coefficienten so, dass das $k\!$te Glied in der Entwicklung von ${\frac {1}{\zeta }}\,\chi _{1}\left({\frac {1}{\zeta }}\right)$ gleich dem $(k+1)\!$ten Gliede in der Entwicklung von ${\frac {1}{\eta }}\,\varphi _{1}\left({\frac {1}{\eta }}\right)$ ist. Dann erhält man

(15)	${\frac {1}{\eta }}\,\varphi _{1}\left({\frac {1}{\eta }}\right)-\,{\frac {1}{\zeta }}\,\chi _{1}\left({\frac {1}{\zeta }}\right)=\,{\frac {1}{p_{0}+q_{0}\,\eta }}.\,$

 Damit dies zu Stande komme, hat man

(16)	${\begin{aligned}&p_{k+1}=p_{k}\,{\frac {c^{2}-b^{2}}{ab}}+q_{k}\,{\frac {c}{b}}\\\,\\&q_{k+1}=-\,{\frac {1}{b}}\,(p_{k}c+q_{k}a)\\\end{aligned}}$

zu setzen. In den Bedingungsgleichungen (16) kommt $k\!$ nicht explicite vor. Wir schreiben deshalb

${\begin{aligned}&p_{k}={\mathfrak {P}}\alpha ^{k},\\\,\\&q_{k}={\mathfrak {Q}}\alpha ^{k}.\\\end{aligned}}$

Dadurch gehen die Gleichungen (16) über in

(17)	${\begin{aligned}&{\mathfrak {P}}\left(\alpha -\,{\frac {c^{2}-b^{2}}{ab}}\right)={\mathfrak {Q}}\,{\frac {c}{b}},\,\\\,\\&{\mathfrak {Q}}\left(\alpha +\,{\frac {a}{b}}\right)=-{\mathfrak {P}}\,{\frac {c}{b}},\\\end{aligned}}$

und wenn man ${\mathfrak {P}}\!$ und ${\mathfrak {Q}}\!$ eliminirt, so ergibt sich zur Bestimmung von $\alpha \!$ die quadratische Gleichung

(18)	$\alpha ^{2}+\alpha \,{\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{ab}}+1=0.\,$

Wir bezeichnen die Wurzeln mit $\alpha _{1}\!$ und $\alpha _{2}\!$, und bemerken, dass