Schwere, Elektricität und Magnetismus:179

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 165
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Das nicht freie System.

dadurch eingeführt wird, lässt sich durch die Gleichung aussprechen:

(2)	$U=r-{\text{const.}}=0,\!$

wenn

$r={\sqrt {(x_{k}-x_{i})^{2}+(y_{k}-y_{i})^{2}+(z_{k}-z_{i})^{2}}}$

gesetzt wird. Durch diese Verbindung können nur solche Kräfte aufgehoben werden, welche die Entfernung der beiden Punkte zu vermehren oder zu vermindern streben, d. h. zwei gleich grosse Kräfte, deren Richtungen einander entgegengesetzt in die Verbindungslinie der beiden Punkte fallen, und von denen die eine auf den Punkt $m_{i}\!$, die andere auf den Punkt $m_{k}\!$ wirkt. Folglich sind auch $X_{i}^{'},\,Y_{i}^{'},\,Z_{i}^{'}$ die Componenten einer Kraft $\lambda \!$, welche in der Richtung $m_{i}\,m_{k}$ oder in der Richtung $m_{k}\,m_{i}$ auf den Punkt $m_{i}\!$ wirkt. Und es sind $X_{k}^{'},\,Y_{k}^{'},\,Z_{k}^{'}$ die Componenten einer ebenso grossen Kraft $\lambda \!$, die der vorigen entgegengesetzt auf den Punkt $m_{k}\!$ wirkt. Es ist also

(3)

$X_{i}^{'}=\lambda \cdot {\frac {x_{i}-x_{k}}{r}}=\lambda {\frac {\partial r}{\partial x_{i}}},$ $Y_{i}^{'}=\lambda \cdot {\frac {y_{i}-y_{k}}{r}}=\lambda {\frac {\partial r}{\partial y_{i}}},$ $Z_{i}^{'}=\lambda \cdot {\frac {z_{i}-z_{k}}{r}}=\lambda {\frac {\partial r}{\partial z_{i}}},$ $X_{i}^{'}=\lambda \cdot {\frac {x_{k}-x_{i}}{r}}=\lambda {\frac {\partial r}{\partial x_{k}}},$ $Y_{i}^{'}=\lambda \cdot {\frac {y_{k}-y_{i}}{r}}=\lambda {\frac {\partial r}{\partial y_{k}}},$ $Z_{i}^{'}=\lambda \cdot {\frac {z_{k}-z_{i}}{r}}=\lambda {\frac {\partial r}{\partial z_{k}}}.$

 Das virtuelle Moment der Zusatzkräfte ist demnach

(4)

${\begin{aligned}&\lambda \left({\frac {\partial r}{\partial x_{i}}}\delta x_{i}+{\frac {\partial r}{\partial y_{i}}}\delta y_{i}+{\frac {\partial r}{\partial z_{i}}}\delta z_{i}\right)\\+&\lambda \left({\frac {\partial r}{\partial x_{k}}}\delta x_{k}+{\frac {\partial r}{\partial y_{k}}}\delta y_{k}+{\frac {\partial r}{\partial z_{k}}}\delta z_{k}\right),\\\end{aligned}}$

d. h.

$\lambda \,\delta r$ oder auch $\lambda \,\delta u.$

Die Grösse der Kraft $\lambda \!$ bleibt vorläufig unbestimmt. Ihr Vorzeichen kann sowohl positiv als auch negativ sein. Es ist positiv für