Schwere, Elektricität und Magnetismus:178

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Dritter Abschnitt. §. 40.

wieder so beschaffen sein, dass ein Potential vorhanden ist. Dann spricht sich das Princip des Lagrange in der Gleichung aus:

(1)	$\sum _{i=1}^{n}\left\lbrace \left({\frac {\partial P}{\partial x_{i}}}-m_{i}{\frac {d^{2}x_{i}}{dt^{2}}}+X_{i}^{\prime }\right)\right.\delta x_{i}$

${\begin{aligned}&+\left({\frac {\partial P}{\partial y_{i}}}-m_{i}{\frac {d^{2}y_{i}}{dt^{2}}}+Y_{i}^{\prime }\right)\delta y_{i}\\&\left.+\left({\frac {\partial P}{\partial z_{i}}}-m_{i}{\frac {d^{2}z_{i}}{dt^{2}}}+Z_{i}^{\prime }\right)\delta z_{i}\right\rbrace =0.\\\end{aligned}}$

Es kömmt nun darauf an, für jeden Punkt des Systems die Zusatzkräfte $X_{i}^{\prime },\,Y_{i}^{\prime },\,Z_{i}^{\prime }$ wirklich ausfindig zu machen. Zu dem Ende kann man die Sache auch so auffassen. Es ist erlaubt, für jeden Punkt des unfreien Systems solche Kräfte hinzuzufügen, die sich gegenseitig im Gleichgewicht halten. Für den Punkt $(x_{i},\,y_{i},\,z_{i})$ fügen wir parallel den Coordinatenaxen die Kräfte

$X_{i}^{\prime },\,Y_{i}^{\prime },\,Z_{i}^{\prime }$

und die Kräfte

$-X_{i}^{\prime },\,-Y_{i}^{\prime },\,-Z_{i}^{\prime }$

hinzu. Die letztgenannten sollen so gewählt werden, dass ihre Wirkung und die Wirkung der vorhandenen Verbindungen sich gegenseitig vernichten. Dadurch wird eben das System zu einem freien, und zu den gegebenen Kräften treten die Zusatzkräfte $X_{i}^{\prime },\,Y_{i}^{\prime },\,Z_{i}^{\prime }$ hinzu. Diese sind aber völlig bestimmt, sobald man die

Fig. 29.

Fig. 30.

Kräfte $-X_{i}^{\prime },\,-Y_{i}^{\prime },\,-Z_{i}^{\prime }$ kennt, durch welche die Wirkung der Verbindungen aufgehoben wird.

 Es ist also vor allem nothwendig, zu untersuchen, wie die Kräfte beschaffen sind, welche durch die Verbindungen aufgehoben werden und ihrerseits die Wirkungen der Verbindungen aufheben. Wir betrachten deshalb die verschiedenen Arten der Verbindungen.

 Erstens. Zwei Punkte $(x_{i},\,y_{i},\,z_{i})$ und $(x_{k},\,y_{k},\,z_{k})$ seien durch eine starre Verbindungslinie gezwungen, in constanter Entfernung von einander zu bleiben (Fig. 29 u. 30). Die Bedingung, welche