Schwere, Elektricität und Magnetismus:144

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Zweiter Abschnitt. §. 30.


Dies ist die partielle Differentialgleichung, welche für Kugel-Coordinaten an die Stelle der Gleichung (4) des §. 13 tritt.

 Die Gleichung von Laplace lautet demnach für dieses Coordinatensystem:


(4)


§. 30.
Fortsetzung: Die Function .


 Soll zunächst die Function für irgend einen Punkt im Innern der Kugel vom Radius hergestellt werden , so handelt es sich nach Green's Methode darum, eine Function ausfindig zu machen, die den folgenden Bedingungen Genüge leistet:


(1)


im Innern der Kugel vom Radius


(2) in der Oberfläche


(3) im Punkte


wie der reciproke Werth der Entfernung von diesem Punkte.

 Die partielle Differentialgleichung (1) lässt sich durch eine andere ersetzen, wenn man eine Function einführt durch die Gleichung:


(4)


und als Variable nimmt statt . Es ist nemlich



folglich



 Aus der Gleichung (4) findet sich durch Differentiation