Schwere, Elektricität und Magnetismus:145

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 131
<< Zurück Vorwärts >>
fertig
Fertig! Dieser Text wurde zweimal anhand der Quelle Korrektur gelesen. Die Schreibweise folgt dem Originaltext.
Potentialfunction einer nicht homogenen Kugel.


 Führt man dies in die partielle Differentialgleichung (1) ein, so erhält man, nach Wegwerfung des Factors :


(5)


Ist


(6)


eine Lösung dieser partiellen Differentialgleichung, so kann man darin ersetzen durch und erhält dadurch eine neue Lösung. Man überzeugt sich davon leicht, wenn man bemerkt, dass in (5) nur vorkommt. Es ist also auch


(7)


eine Lösung, wenn genommen wird.

 Gehört nun zu einem Punkte innerhalb der Kugel, so lässt es sich leicht einrichten, dass einem äusseren Punkte angehört. Man hat nur


(8) d. h.


zu setzen. Zwei solche Punkte, welche auf demselben Radius vector liegen, und deren Abstände vom Mittelpunkte und der Gleichung (8) Genüge leisten, sollen der eine der Bildpunkt des anderen genannt werden.

 Vermöge der Gleichungen (6), (7) und (8) ist es nun leicht, die Function über die Oberfläche der Kugel hinaus so in den äusseren Raum fortzusetzen, dass sie überall der partiellen Differentialgleichung (5) genügt, und dass sie in der Oberfläche der Kugel an jeder Stelle den Werth Null annimmt.

 Man braucht nur die Bestimmung zu treffen, dass die Functionswerthe und einander entgegengesetzt gleich sein sollen für zwei Punkte und , von denen der eine des anderen Bildpunkt ist. Also


(9)


Daraus geht zunächst hervor


(10)


Ferner, wenn man mit die Derivirte nach bezeichnet:


(11)