Schwere, Elektricität und Magnetismus:143

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 129
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Potentialfunction einer nicht homogenen Kugel.

$\left\lbrace r^{2}{\frac {\partial V}{\partial r}}-\left(r^{2}{\frac {\partial V}{\partial r}}\right)_{r+dr}\right\rbrace \sin \theta \,d\theta \,d\varphi$ $=-{\frac {\partial \left(r^{2}{\frac {\partial V}{\partial r}}\right)}{\partial r}}\sin \theta \,dr\,d\theta \,d\varphi .$

Es kommen ferner in Betracht zwei Seitenflächen, rechtwinklig gegen den Meridian. Ihr Flächeninhalt ist $r\,\sin \theta \,dr\,d\varphi$ und resp. $r\,\sin(\theta +d\theta )\,dr\,d\varphi$. Für die eine ist $N={\frac {\partial V}{r\,\partial \theta }}$, für die andere $N=-\left({\frac {\partial V}{r\,\partial \theta }}\right)_{\theta +d\theta }$. Folglich lautet der Beitrag zu dem Integral

$\left\lbrace {\frac {\partial V}{r\,\partial \theta }}\sin \theta -\left({\frac {\partial V}{r\,\partial \theta }}\sin \theta \right)_{\theta +d\theta }\right\rbrace r\,dr\,d\varphi$ $=-{\frac {\partial \left({\frac {\partial V}{\partial \theta }}\sin \theta \right)}{\partial \theta }}dr\,d\theta \,d\varphi .$

 Endlich handelt es sich noch um zwei Seitenflächen, rechtwinklig gegen den Parallelkreis. Jede von ihnen hat den Flächeninhalt $r\,dr\,d\theta$. Für die eine ist $N={\frac {\partial V}{r\,\sin \theta \,d\varphi }}$, für die andere $N=\left({\frac {\partial V}{r\,\sin \theta \,d\varphi }}\right)_{\varphi +d\varphi }$. Wir erhalten also zu dem Integral den Beitrag

$\left\lbrace {\frac {\partial V}{r\,\sin \theta \,\partial \varphi }}-\left({\frac {\partial V}{r\,\sin \theta \,\partial \varphi }}\right)_{\varphi +d\varphi }\right\rbrace r\,dr\,d\theta$ $=-{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \varphi ^{2}}}dr\,d\theta \,d\varphi .$

 Fassen wir diese Beiträge zusammen, so wird aus der linken Seite der Gleichung (2):

$-dr\,d\theta \,d\varphi \left\lbrace {\frac {\partial \left(r^{2}{\frac {\partial V}{\partial r}}\right)}{\partial r}}\sin \theta +{\frac {\partial \left(\sin \theta \,{\frac {\partial V}{\partial \theta }}\right)}{\partial \theta }}+{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \varphi ^{2}}}\right\rbrace .$

Auf der rechten Seite ist

$M=\rho \,r^{2}\,\sin \theta \,dr\,d\theta \,d\varphi .$

Stellt man hiernach die Gleichung (2) auf und dividirt auf beiden Seiten durch $-r^{2}\,\sin \theta \,dr\,d\theta \,d\varphi$, so ergibt sich:

(3)

${\frac {1}{r^{2}}}\left\lbrace {\frac {\partial \left(r^{2}{\frac {\partial V}{\partial r}}\right)}{\partial r}}+{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial \left(\sin \theta \,{\frac {\partial V}{\partial \theta }}\right)}{\partial \theta }}+{\frac {1}{\sin \theta ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \varphi ^{2}}}\right\rbrace =-4\,\pi \,\rho .$