Schwere, Elektricität und Magnetismus:123

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 109
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Anziehung eines homogenen elliptischen Cylinders.

(18)	$Z=-{\frac {2\,\rho \,x\,z}{\gamma ^{1}-\beta ^{2}}}\int \limits _{\sigma }^{\infty }{\frac {s+\beta ^{2}}{\sqrt {\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)}}}\cdot {\frac {{\frac {\partial t}{\partial s}}ds}{t{\sqrt {t-x^{2}}}}}+\Psi (y,\,z).$

Durch Integration nach Theilen erhalten wir dafür

(19)

{\begin{aligned}Z=&-{\frac {2\,\varepsilon \,\beta \,\gamma \,\pi \,\rho \,z}{\gamma ^{1}-\beta ^{2}}}+\Psi (y,\,z)\\&-{\frac {4\,\varepsilon \,\rho \,z}{1-{\frac {\gamma ^{2}}{\beta ^{2}}}}}\int \limits _{\sigma }^{\infty }\arcsin {\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{t}}}}\cdot d{\sqrt {\frac {1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}}{1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}}}},\\\end{aligned}}

und es ist auch hier wieder $\varepsilon =+1\,$ für $x>0\,$ und $\varepsilon =-1\,$ für $x<0\,$ . Indem wir jetzt in (5) partiell nach $z\,$ , in (19) partiell nach $x\,$ differenziren und die Resultate vergleichen, finden wir, dass auch die letzte der Gleichungen (8) erfüllt ist.

Die Function $\Psi (y,\,z)\,$ wird auf demselben Wege bestimmt wie vorher die Function $\Phi (y,\,z)\,$ . Man gelangt zu dem Resultate, dass

(20)	$\Psi (y,\,z)=2\,\varepsilon \,\pi \,\rho {\frac {z}{\gamma ^{2}-\beta ^{2}}}\cdot {\frac {\sigma '+\beta ^{2}}{\sqrt {\left(1+{\frac {\sigma '}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {\sigma '}{\gamma ^{2}}}\right)}}}$

genommen werden muss, damit die zweite der Gleichungen (12) erfüllt werde.

Nun bleibt von den Gleichungen (8) noch die zweite zu beweisen.

Aus der Gleichung (15) leiten wir her

{\frac {\partial Y}{\partial z}}={\frac {\partial \Phi }{\partial z}}-{\frac {2\,\rho \,x\,y\,z}{\beta ^{2}\,\gamma ^{2}}}\int \limits _{\sigma }^{\infty }{\frac {s\,ds}{t{\sqrt {t-x^{2}}}}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)^{3}\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)^{3}}}},

und aus der Gleichung (19) geht hervor

{\frac {\partial Z}{\partial y}}={\frac {\partial \Psi }{\partial y}}-{\frac {2\,\rho \,x\,y\,z}{\beta ^{2}\,\gamma ^{2}}}\int \limits _{\sigma }^{\infty }{\frac {s\,ds}{t{\sqrt {t-x^{2}}}}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)^{3}\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)^{3}}}}.