Schwere, Elektricität und Magnetismus:122

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 108
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Zweiter Abschnitt, §. 26.

Der Beitrag ${\frac {\partial Y}{\partial \sigma }}{\frac {\partial \sigma }{\partial x}}$, der auf der rechten Seite noch hinzugefügt werden müsste, fällt weg, weil ${\frac {\partial Y}{\partial \sigma }}=0$ ist.

 Aus (13) und (16) erkennt man auf den ersten Blick, dass die erste der Gleichungen (8) in der That erfüllt ist.

 Es kommt nun darauf an, die Function $\Phi (y,\,z)$ richtig zu bestimmen, so dass für $x=0\,$ auch $Y=0\,$ wird. Dabei ist zu beachten, dass für $x=0\,$ die untere Grenze $\sigma \,$ des Integrals in (15) übergeht in $\sigma '\,$. Nun ist aber für $s=\sigma '\,$ die Function $t=0\,$, und folglich wird dann der Werth von

$\arcsin {\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{t}}}}$

völlig unbestimmt. Wir nehmen deshalb in dem zu ermittelnden Integral zunächst $\sigma '+\kappa \delta \,$ als untere Grenze und verstehen unter $\kappa \,$ eine unbestimmte positive Constante und unter $\delta \,$ eine positive Grösse, die nachher der Null unaufhörlich angenähert werden soll. Unter dieser Verabredung bleibt zwischen den Integrationsgrenzen $(s=\sigma '+\kappa \delta \,$ und $s=\infty )\,$ die Function $t\,$ positiv. Folglich ist jetzt der Arcussinus $={\frac {\pi }{2}}\,$, und das Integral in (15) hat für $x=0\,$ einen angebbaren, endlichen Werth, wenn als untere Grenze $\sigma '+\kappa \delta \,$ genommen wird. Dieser Werth geht für $\lim \delta =0\,$ über in

${\frac {\pi }{2}}\left\lbrace {\frac {\beta }{\gamma }}-{\frac {1}{\gamma ^{2}}}{\frac {\sigma '+\gamma ^{2}}{\sqrt {\left(1+{\frac {\sigma '}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {\sigma '}{\gamma ^{2}}}\right)}}}\right\rbrace ,$

also in einen Grenzwerth, der von der unbestimmten Grösse $\kappa \,$ unabhängig ist. Dieser Grenzwerth ist der Werth des Integrals in (15), wenn $\sigma '\,$ als untere Grenze genommen und $x=0\,$ gesetzt wird. Daraus ergibt sich nun leicht, dass

(17)	$\Phi (y,\,z)=2\,\varepsilon \,\pi \,\rho {\frac {y}{\beta ^{2}-\gamma ^{2}}}\cdot {\frac {\sigma '+\gamma ^{2}}{\sqrt {\left(1+{\frac {\sigma '}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {\sigma '}{\gamma ^{2}}}\right)}}}$

sein muss, damit die erste der Gleichungen (12) erfüllt werde.

 Die Function $Z\,$ aus Gleichung (7) nehmen wir zunächst in der Form