Schwere, Elektricität und Magnetismus:121

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 107
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Anziehung eines homogenen elliptischen Cylinders.

 Nun ist aber durch Differentiation leicht zu beweisen, dass

${\frac {1}{t{\sqrt {t-x^{2}}}}}\cdot {\frac {\partial t}{\partial s}}={\frac {2}{\sqrt {x^{2}}}}\cdot {\frac {\partial }{\partial s}}\left(\arcsin {\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{t}}}}\right),$

wenn die Quadratwurzeln auf beiden Seiten positiv genommen werden. Folglich kann man auf das Integral in (14) die Integration nach Theilen anwenden. Man hat zunächst für das unbestimmte Integral die Gleichung

$\int {\frac {s+\gamma ^{2}}{\sqrt {\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)}}}\cdot {\frac {\frac {\partial t}{\partial s}}{t{\sqrt {t-x^{2}}}}}ds$ $={\frac {2\gamma ^{2}}{\sqrt {x^{2}}}}{\sqrt {\frac {1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}}{1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}}}}\cdot \arcsin {\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{t}}}}$ $-{\frac {2\gamma ^{2}}{\sqrt {x^{2}}}}\int \arcsin {\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{t}}}}\cdot d{\sqrt {\frac {1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}}{1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}}}}.$

Der freie Theil ist Null für $s=\sigma \,$, dagegen gleich ${\frac {\beta \,\gamma \,\pi }{\sqrt {x^{2}}}}$ für $s=\infty \,$. Folglich lautet das Resultat der Transformation:

(15)

${\begin{aligned}Y=&-{\frac {2\,\varepsilon \,\beta \,\gamma \,\pi \,\rho \,y}{\beta ^{2}-\gamma ^{2}}}+\Phi (y,\,z)\\&-{\frac {4\,\varepsilon \,\rho \,y}{1-{\frac {\beta ^{2}}{\gamma ^{2}}}}}\int \limits _{s=\sigma }^{\infty }\arcsin {\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{t}}}}\cdot d{\sqrt {\frac {1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}}{1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}}}},\\\end{aligned}}$

und hier ist $\varepsilon =+1\,$ für $x>0,\,$ dagegen $\varepsilon =-1\,$ für $x<0\,$.

 Wenn wir in (15) partiell nach $x\,$ differenziren, so ergibt sich

(16)	${\frac {\partial Y}{\partial x}}={\frac {4\,\rho \,y}{1-{\frac {\beta ^{2}}{\gamma ^{2}}}}}\int \limits _{s=\sigma }^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {t-x^{2}}}}\cdot d{\sqrt {\frac {1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}}{1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}}}}.$