Schwere, Elektricität und Magnetismus:116

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 102
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Zweiter Abschnitt. §. 26.

(4)	$1-{\frac {y^{2}}{s+\beta ^{2}}}-{\frac {z^{2}}{s+\gamma ^{2}}}=0$

setzt. Nimmt man auch hier $s\,$ als Abscisse, aber ${\frac {t}{s}}$ als Ordinate einer Curve, so springt bei stetig wachsendem $s\,$ die Ordinate von $+\infty$ auf $-\infty$ an den beiden Stellen $s=-\beta ^{2}\,$ und $s=-\gamma ^{2}\,$. Für $\beta ^{2}>\gamma ^{2}\,$ zeigt sich, dass die Curve die Abscissenaxe je einmal schneidet zwischen $-\beta ^{2}\,$ und $-\gamma ^{2}\,$ und zwischen $-\gamma ^{2}\,$ und $+\infty \,$. Hier ist aber noch zu unterscheiden, ob der Punkt $(x,\,y,\,z)$ ausserhalb des Raumes liegt, welchen die unbegrenzte Cylinderfläche (1) umschliesst, oder innerhalb.

 Liegt der Punkt $(x,\,y,\,z)$ ausserhalb, so ist ${\frac {t}{s}}<0$ für $s=0\,$, und folglich schneidet die Curve (Fig. 16) die Abscissenaxe

Fig. 16.

zwischen $0\,$ und $+\infty \,$, nicht aber zwischen $-\gamma ^{2}\,$ und $0\,$.

 Wenn dagegen der Punkt $(x,\,y,\,z)$ innerhalb des von der Fläche (1) umschlossenen Raumes liegt, so ist ${\frac {t}{s}}>0$ für $s=0\,$. Die Curve (Fig. 17) schneidet also die Abscissenaxe zwischen $-\gamma ^{2}\,$ und $0\,$, nicht aber zwischen $0\,$ und $+\infty \,$.

 Daraus geht hervor, dass die grösste Wurzel der Gleichung (3) positiv ist, wenn der Punkt $(x,\,y,\,z)$ ausserhalb des von der Fläche (1) umschlossenen Raumes liegt, und dass sie gleich Null ist, wenn er innerhalb liegt. Wir bezeichnen diese grösste Wurzel der Gleichung (3) mit $\sigma '\,$. Jedenfalls ist $\sigma >\sigma '\,$, wenn $x\,$ von Null verschieden. Für einen inneren Punkt $(x,\,y,\,z)$ sieht man dies ohne weiteres, weil $\sigma \,$ positiv und $\sigma '\,$ Null ist. Für einen äusseren Punkt hat man dagegen die Gleichungen