Schwere, Elektricität und Magnetismus:117

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 103
<< Zurück	Vorwärts >>
fertig
Fertig! Dieser Text wurde zweimal anhand der Quelle Korrektur gelesen. Die Schreibweise folgt dem Originaltext.

Anziehung eines homogenen elliptischen Cylinders.

$1-{\frac {y^{2}}{\sigma '+\beta ^{2}}}-{\frac {z^{2}}{\sigma '+\gamma ^{2}}}=0,$ $1-{\frac {y^{2}}{\sigma +\beta ^{2}}}-{\frac {z^{2}}{\sigma +\gamma ^{2}}}={\frac {x^{2}}{\sigma }}$

zu beachten, in denen $\sigma \,$ und $\sigma '\,$ positiv sind. Diese Gleichungen geben zu erkennen, dass die positive Summe ${\frac {y^{2}}{\sigma '+\beta ^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\sigma '+\gamma ^{2}}}$ grösser sein muss als die ebenfalls positive Summe ${\frac {y^{2}}{\sigma +\beta ^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\sigma +\gamma ^{2}}}$. D. h. es muss $\sigma >\sigma '\,$ sein.

 Für $x=0\,$ ist $\sigma =\sigma '\,$.

Fig. 17.

 In den Gleichungen (2) und (3) wollen wir von jetzt an nur den grössten Wurzelwerth in Betracht ziehen. Man kann in der Gleichung (2) $\sigma \,$ als gegeben ansehen. So lange der Werth von $\sigma \,$ grösser als Null ist, darf man statt der Gleichung (2) auch schreiben:

$1-{\frac {x^{2}}{\sigma }}-{\frac {y^{2}}{\sigma +\beta ^{2}}}-{\frac {z^{2}}{\sigma +\gamma ^{2}}}=0.$

Dann ist der Punkt $(x,\,y,\,z)$ auf der Oberfläche eines Ellipsoids zu suchen, dessen Hauptaxen in die Coordinatenaxen fallen. Lässt man $\sigma \,$ alle positiven Werthe bis $+\infty \,$ durchlaufen, so erhält man eine Schaar von unendlich vielen confocalen Ellipsoiden. Ihre Durchschnitte mit der $yz\,$Ebene sind Ellipsen, die mit der Schnitt-Ellipse der $yz\,$Ebene und der Cylinderfläche (1) die Brennpunkte gemein haben.

 Für $\sigma =0\,$ degenerirt das Ellipsoid in eine Cylinderfläche, nemlich die Fläche (1).