Schwere, Elektricität und Magnetismus:115

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 101
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Anziehung eines homogenen elliptischen Cylinders.

als Potentialfunction für den Fall, dass im Innern des Cylinders die Dichtigkeit $=0\,$ ist von $x=-\infty$ bis $x=0\,$ und von $x=+a\,$ bis $x=+\infty$, dagegen $=\rho \,$ von $x=0\,$ bis $x=a\,$. Dieser Fall ist der unserer Aufgabe.

 Wir setzen

$t=s\left(1-{\frac {y^{2}}{s+\beta ^{2}}}-{\frac {z^{2}}{s+\gamma ^{2}}}\right)$

und sehen $s\,$ als Unbekannte an sowohl in der Gleichung

(2)	$t-x^{2}=0,\,$

als auch in der Gleichung

(3)

$t=0.\,$

 Beide Gleichungen sind vom dritten Grade. Dass sie lauter reelle Wurzeln haben, beweist man auf demselben Wege wie für die Gleichung $F(s)=0\,$ in §. 24.

 So lange $x\,$ von Null verschieden ist, hat die Gleichung (2) dieselben Wurzeln wie die Gleichung ${\frac {t-x^{2}}{s}}=0$. Nimmt man also $s\,$ als Abscisse und ${\frac {t-x^{2}}{s}}$ als Ordinate einer Curve (Fig. 15), so sieht man, dass bei stetig wachsendem $s\,$ die Ordinate von $+\infty \,$

Fig. 15.

auf $-\infty \,$ springt an den drei Stellen $s=-\beta ^{2},\,s=-\gamma ^{2},\,s=0$. Ist $\beta ^{2}>\gamma ^{2}\,$, so schneidet die Curve die Abscissenaxe je einmal zwischen $-\beta ^{2}\,$ und $-\gamma ^{2}\,$, zwischen $-\gamma ^{2}\,$ und $0\,$, und zwischen $0\,$ und $+\infty \,$. Die grösste Wurzel der Gleichung (2) ist also positiv. Wir bezeichnen sie mit $\sigma \,$.

 Die Gleichung (3) hat eine Wurzel $=0\,$. Die beiden anderen finden sich, wenn man