Schwere, Elektricität und Magnetismus:114

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Zweiter Abschnitt. §. 26.

auch dann noch, wenn der angezogene Punkt auf der äusseren Oberfläche der Schale selbst liegt.*)^[1]

§. 26. Anziehung eines homogenen elliptischen Cylinders.

 Wir gehen zu der Aufgabe über, die Anziehung eines geraden Cylinders zu berechnen, dessen Endflächen Ellipsen sind. Die Dichtigkeit $\rho \,$ sei constant. Wir legen das Coordinatensystem so, dass die Endflächen ausgedrückt werden durch die Gleichungen

$x=0\,$ und $x=a\,$

und die krumme Oberfläche durch die Gleichung

(1)	${\frac {y^{2}}{\beta ^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\gamma ^{2}}}-1=0.\,$

Die Axe der $x\,$ fällt dann in die Axe des Cylinders und die Basisfläche liegt in der $yz$Ebene.

 Die Untersuchung lässt sich auf eine einfachere zurückführen. Man betrachte einen Cylinder, der mit dem gegebenen die krumme Oberfläche gemein hat, aber keine Endflächen besitzt, also von $x=-\infty$ bis $x=+\infty$ sich erstreckt. In seinem Innern sei die Dichtigkeit $=-{\frac {1}{2}}\,\rho$ von $x=-\infty$ bis $x=0\,$ und $=+{\frac {1}{2}}\,\rho$ von $x=0\,$ bis $x=+\infty$. Auch hier soll die im Punkte $(x,\,y,\,z)$ concentrirte positive Masseneinheit angezogen werden von einer positiven Masse, dagegen abgestossen werden von einer negativen Masse. Man denke sich, die Potentialfunction dieser Masse sei bekannt, nemlich

$F(x,\,y,\,z).$

Dann ist, wie man leicht sieht,

$F(x-a,\,y,\,z).$

die Potentialfunction, die von demselben Cylinder herrührt, wenn die Dichtigkeit $=-{\frac {1}{2}}\,\rho$ ist von $x=-\infty$ bis $x=+a\,$ und $=+{\frac {1}{2}}\,\rho$ von $x=+a\,$ bis $x=+\infty \,$.

 Durch Superposition erhält man

$F(x,\,y,\,z)-F(x-a,\,y,\,z)$

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1. *) Man vergleiche auch: Ivory. (Philosophical Transactions. 1809.) Dirichlet. (Abhandlungen der Berliner Akademie. 1839.)